[论文解读] A comment on Intersecting Families of Permutations

Yuval Filmus|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文指出了 Ellis, Friedgut 和 Pilpel (2011) 在证明极值 $t$-相交排列族的刻画时存在一个关键缺陷，具体体现在其声称仅 $t$-陪集能达到最大大小 $(n-t)!$ 的论断上。尽管主结论——即此类族的大小被 $(n-t)!$ 所限制，且仅当为 $t$-陪集时取等——依然成立，但原始证明中关于唯一性的论证是错误的。本文提供了原始证明中关键引理的反例，并通过 Ellis (2011) 的另一种证明方法确认了主结论的正确性。

ABSTRACT

Ellis, Friedgut and Pilpel proved that for large enough $n$, a $t$-intersecting family of permutations contains at most $(n-t)!$ permutations. Their main theorem also states that equality holds only for $t$-cosets. We show that their proof of the characterization of extremal families is wrong. However, the characterization follows from a paper of Ellis, as mentioned already by Ellis, Friedgut and Pilpel.

研究动机与目标

• 识别并修正 Ellis, Friedgut 和 Pilpel (2011) 在证明极值 $t$-相交排列族唯一性时的缺陷。
• 证明主结论——即 $t$-相交族的大小被 $(n-t)!$ 限制，且仅当为 $t$-陪集时取等——即使在原始证明存在缺陷的情况下依然成立。
• 提供 EFP11 中定理 27 和定理 29 的显式反例，这两者是其唯一性论证的核心。
• 确认正确的刻画可由 Ellis (2011) 的结果推出，如 EFP11 所提及，并澄清各结果之间的逻辑依赖关系。

提出的方法

• 构造一个布尔函数 $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ 或 } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$，其属于 $V_2$ 但其支撑集中不包含任何 $2$-陪集，从而反驳 EFP11 中的定理 27。
• 将该反例推广至任意偶数 $k \geq 2$，通过在 $k+1$ 个点上使用容斥原理，表明 $f \in V_k$ 但 $f$ 的支撑集不包含任何 $k$-陪集。
• 指出 EFP11 中定理 29 的错误，该定理声称对双随机矩阵的 Birkhoff 定理有推广，通过构造一个满足条件 (S1) 但不满足 (S2) 的反例矩阵。
• 利用 Ellis (2011) 独立证明了主结论成立的事实，即若 $1_I \in V_k$ 对于极值族成立，则 $I$ 必为 $k$-陪集，从而通过另一条路径验证了唯一性结论。
• 分析了在切片 $J(n,k)$ 上的布尔函数与其在 $S_n$ 上的提升之间的关系，表明对于某些二阶函数，定理 27J 失效，但其否定形式成立。
• 提出定理 27J 的修正版本，建议对于 $J(n,k)$ 上的布尔函数，$f$ 或 $1-f$ 可表示为次数为 $r_d$ 的单项式之和，其中 $r_d$ 与函数次数多项式相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ellis, Friedgut 和 Pilpel (2011) 中关于极值 $t$-相交排列族仅由 $t$-陪集构成的刻画是否被正确证明？
• RQ2 布尔函数 $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ 或 } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$ 是否属于 $V_2$ 但其不构成 $2$-陪集的不相交并集，从而与 EFP11 中的定理 27 矛盾？
• RQ3 能否构造一个满足 EFP11 中定理 29 条件但并非置换矩阵的凸组合的双随机矩阵，从而否定该定理？
• RQ4 是否存在一种独立于 EFP11 中有缺陷论证的正确替代证明，用于 $t$-陪集作为极值 $t$-相交族的唯一性？
• RQ5 定理 27J（声称 $J(n,k)$ 上的布尔函数若次数为 $d$，则可表示为非负次数为 $d$ 的单项式之和）能否被修正或推广？

主要发现

• Ellis, Friedgut 和 Pilpel (2011) 中关于 $t$-陪集是唯一极值 $t$-相交排列族的证明对 $t > 1$ 是错误的，具体原因在于定理 27 和定理 29 中存在错误。
• 构造了一个反例：一个属于 $V_2$ 但其支撑集中不包含任何 $2$-陪集的布尔函数，从而证伪了 EFP11 中的定理 27。
• 该反例可推广至任意偶数 $k \geq 2$，表明 $V_k$ 中的函数不一定是 $k$-陪集的不相交并集。
• 提供了对定理 29 的反例：一个满足条件 (S1) 但不满足 (S2) 的矩阵，从而否定了其对 Birkhoff 定理的所谓推广。
• 尽管原始证明存在缺陷，主结论——即 $t$-相交排列族的大小至多为 $(n-t)!$，且仅当为 $t$-陪集时取等——依然成立，如 Ellis (2011) 所证明。
• 定理 27J 在某些 $J(n,k)$ 上的二阶函数上失效，提示修正此类分解定理需对 $f$ 或 $1-f$ 添加条件，例如使用无歧义的证书复杂度。