[论文解读] A common approach to Brocard's problem, Landau's problem, and the twin prime problem

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的逻辑框架，通过丢番图方程组将布罗卡德问题、关于形如 n²+1 的素数的兰道猜想以及孪生素数问题联系起来。通过构建与快速增长函数 f(n) 相关的系统 A 和 B，证明了兰道猜想蕴含一个等价于已知算法性陈述的有界性条件，提供了非证明性的启发性支持，但并未证明此类素数的无穷性。

ABSTRACT

Let f(1)=2, f(2)=4, f(n+1)=f(n)! for n>1. E.Landau's conjecture states that the set P(n^2+1) of primes of the form n^2+1 is infinite. This conjecture implies the following unproven statement F: card(P(n^2+1)) P(n^2+1) subset [2,f(7)]. Let B denote the system: {x_i!=x_k: i,k in {1,...,9}} cup {x_i cdot x_j=x_k: i,j,k in {1,...,9}}. We write down a system U subset B of 9 equations which has exactly two solutions in positive integers x_1,...,x_9: (1,...,1) and (f(1),...,f(9)). We write down a system A subset B of 8 equations. Let L denote the statement: if the system A has at most finitely many solutions in positive integers x_1,...,x_9, then each such solution (x_1,...,x_9) satisfies x_1,...,x_9 leq f(9). The statement L is equivalent to the statement F. This heuristically proves the statement F. This proof does not yield that card(P(n^2+1))=omega. We explain the distinction between existing algorithms (i.e. algorithms whose existence is provable in ZFC) and known algorithms (i.e. algorithms whose existence is constructive and currently known to us). Conditions (1)-(5) concern sets X subset N. (1) There are many elements of X and it is conjectured that X is infinite. (2) No known algorithm with no input returns the logical value of the statement card(X)=omega. (3) A known algorithm for every k in N decides whether or not k in X. (4) A known algorithm with no input returns an integer n satisfying card(X) X subset (-infty,n]. (5) X has the simplest definition among known sets Y subset N with the same set of known elements. *** The set X={k in N: (f(7) (f(7),k) cap P(n^2+1) neq emptyset} satisfies conditions (1)-(4). No set X subset N will satisfy conditions (1)-(4) forever, if for every algorithm with no input, at some future day, a computer will be able to execute this algorithm in 1 second or less. The statement F implies that conditions (1)-(5) hold for X=P(n^2+1).

研究动机与目标

• 建立兰道关于形如 n²+1 的素数的猜想与丢番图方程组解的有界性条件之间的逻辑等价性。
• 证明兰道猜想的真理性蕴含存在一个已知算法，用于判定集合 P(n²+1) 中的成员资格。
• 通过 P(n²+1) 作为案例研究，阐明在 ZFC 中可证明的算法与构造性可获得的算法之间的区别。
• 证明集合 X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅} 满足与算法可判定性及无穷性相关的四个关键条件 (1)-(4)。
• 论证若未来计算能力允许所有算法在一秒内执行完毕，则不存在任何 X ⊆ ℕ 能够无限期满足条件 (1)-(4)，暗示我们对这类集合的当前知识存在局限。

提出的方法

• 定义一个快速增长函数 f(n)，满足 f(1)=2，f(2)=4，且对 n>1 有 f(n+1)=f(n)!，从而生成与解的有界性相关的大数值。
• 构建一个包含 9 个方程的系统 B，涉及变量 x₁ 到 x₉ 的阶乘与乘积，其解包含 (1,…,1) 和 (f(1),…,f(9))。
• 从 B 中构造一个包含 8 个方程的子系统 A，使得陈述 L —— 即 A 的所有解均被 f(9) 有界 —— 与陈述 F: card(P(n²+1)) = ω 逻辑等价。
• 利用 L 与 F 的等价性，论证若 L 成立，则存在一个已知算法可有界地确定 A 的所有解，从而蕴含一个已知算法用于判定 P(n²+1) 中的成员资格。
• 定义集合 X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅}，并证明其满足关于无穷性、可判定性与有界性的条件 (1)-(4)。
• 区分‘存在’的算法（在 ZFC 中可证明）与‘已知’的算法（构造性可获得），论证未来计算速度的提升可能使满足 (1)-(4) 的此类集合不再持久存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 兰道关于形如 n²+1 的素数的猜想能否在逻辑上归约为丢番图方程组解的有界性条件？
• RQ2 是否存在形如 n²+1 的素数无穷多与特定方程组 A 在正整数范围内解的有界性之间的构造性等价？
• RQ3 快速增长函数 f(n) 在连接数论猜想与算法可判定性方面起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，集合 X ⊆ ℕ 可同时满足 (1) 所谓的无穷性与 (3) 已知的算法成员判定，且仍被某个已知整数有界？
• RQ5 若假设未来计算能力达到极致，即所有无输入算法均可在一秒钟内执行完毕，这将如何影响满足条件 (1)-(4) 的集合的长期有效性？

主要发现

• 陈述 L —— 即系统 A 的所有解均被 f(9) 有界 —— 与陈述 F: card(P(n²+1)) = ω 逻辑等价。
• 集合 X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅} 满足条件 (1)-(4)，包括所推测的无穷性、已知的成员判定算法及有界性。
• 若对每个无输入算法，未来计算机均可在一秒钟内执行完毕，则不存在任何 X ⊆ ℕ 能够无限期满足条件 (1)-(4)。
• 该证明并未确立 card(P(n²+1)) = ω，但通过与有界性陈述的逻辑等价性，提供了启发性支持。
• ‘存在’与‘已知’算法之间的区别至关重要：尽管 ZFC 可证明 P(n²+1) 存在算法，但目前尚无此类算法可构造性地获得。
• 若兰道猜想为真，则对 X = P(n²+1) 来说，条件 (1)-(5) 均成立，暗示数论猜想与算法知识之间存在深层结构联系。