[论文解读] A Compact Fermion to Qubit Mapping Part 2: Alternative Lattice Geometries

Charles Derby, Joel Klassen|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 20被引用 15

一句话总结

该论文将紧凑的费米子-量子比特映射扩展至其他晶格几何结构，包括最大度数为4的所有正则平面密铺及三维立方晶格。它引入了一套群论框架以分析编码，实现边算符的泡利权重≤3（三维中为≤4），并实现量子比特与模式比低于1.67（三维中为2.5），在局域性和资源效率方面优于先前的Verstraete-Cirac方法。

ABSTRACT

In recent work [arXiv:2003.06939v2] a novel fermion to qubit mapping -- called the compact encoding -- was introduced which outperforms all previous local mappings in both the qubit to mode ratio, and the locality of mapped operators. There the encoding was demonstrated for square and hexagonal lattices. Here we present an extension of that work by illustrating how to apply the compact encoding to other regular lattices. We give constructions for variants of the compact encoding on all regular tilings with maximum degree 4. These constructions yield edge operators with Pauli weight at most 3 and use fewer than 1.67 qubits per fermionic mode. Additionally we demonstrate how the compact encoding may be applied to a cubic lattice, yielding edge operators with Pauli weight no greater than 4 and using approximately 2.5 qubits per mode. In order to properly analyse the compact encoding on these lattices a more general group theoretic framework is required, which we elaborate upon in this work. We expect this framework to find use in the design of fermion to qubit mappings more generally.

研究动机与目标

• 将紧凑的费米子-量子比特映射从正方形和六边形晶格推广至其他正则晶格几何结构。
• 在平面晶格中实现边算符的低泡利权重（≤3）与最小的量子比特-模式比（<1.67）。
• 将映射扩展至三维立方晶格，实现泡利权重≤4与量子比特-模式比<2.5。
• 构建一个通用的群论框架，以分析局域费米子编码及其码空间结构。
• 识别并解决由于码空间与费米子空间不一致而引起的虚假马约拉纳粒子种类的出现。

提出的方法

• 将紧凑编码框架应用于所有最大顶点度数为4的均匀平面密铺，通过边定向与辅助量子比特分配以最小化泡利权重。
• 提出基于稳定子码与偶费米子代数的群论形式化方法，以表征映射的结构与码空间。
• 定义了一类受限的紧凑编码家族，适用于具有特定拓扑约束的平面图，以确保低权重算符与可控的码空间差异。
• 使用稳定子生成元将费米子模式编码至量子比特，其中逻辑算符由马约拉纳费米子与辅助量子比特导出。
• 通过计算码空间与费米子希尔伯特空间之间的差异∆来分析码空间，识别出多余的马约拉纳粒子种类。
• 当∆ > 0时，提出增加额外稳定子以消除虚假马约拉纳粒子，同时保持费米统计与局域性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将紧凑的费米子-量子比特映射推广至正方形与六边形晶格之外的正则晶格？
• RQ2 在其他晶格几何结构中，映射后边算符的最大泡利权重是多少？其随系统尺寸如何变化？
• RQ3 这些新编码中的量子比特-模式比是多少？与Verstraete-Cirac等先前方法相比如何？
• RQ4 码空间差异（∆）如何影响编码系统的逻辑结构？虚假马约拉纳粒子种类的成因是什么？
• RQ5 能否构建一个通用的群论框架，以系统化地分析与优化此类费米子编码？

主要发现

• 在所有最大度数为4的正则平面密铺上，紧凑编码实现了边算符的泡利权重≤3，量子比特-模式比范围为<1.25至<1.67。
• 对于三维立方晶格，该映射生成泡利权重≤4的边算符，量子比特-模式比约为2.5，优于Verstraete-Cirac方法（比值3，权重4）。
• 当码空间大于费米子空间（∆ > 0）时，最多会出现8个相互反对易的马约拉纳粒子，对应于对辅助量子比特的逻辑操作。
• 通过增加额外稳定子可消除虚假马约拉纳粒子的出现，从而恢复逻辑算符与费米子模式之间的一一对应关系。
• 群论框架使得码空间结构与算符局域性的系统分析成为可能，为未来编码设计奠定了基础。
• 该编码结构与三维拓扑码类似，但辅助量子比特的布置更稀疏，且稳定子权重为4与8，暗示了一种新颖的底层码结构。