[论文解读] A compact higher-order finite-difference scheme for the wave equation can be strongly non-dissipative on non-uniform meshes

Alexander Zlotnik, Raimondas Čiegis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文证明，对于一维波动方程的紧凑高阶有限差分格式，在非均匀网格上当关联特征值问题中出现复特征值时，该格式会变得强非耗散且指数不稳定。不稳定性源于解范数随时间呈指数增长，尽管该格式在均匀网格上具有高阶精度，但其实际应用因此变得不可行。

ABSTRACT

We study necessary conditions for stability of a Numerov-type compact higher-order finite-difference scheme for the 1D homogeneous wave equation in the case of non-uniform spatial meshes. We first show that the uniform in time stability cannot be valid in any spatial norm provided that the complex eigenvalues appear in the associated mesh eigenvalue problem. Moreover, we prove that then the solution norm grows exponentially in time making the scheme strongly non-dissipative and therefore impractical. Numerical results confirm this conclusion. In addition, for some sequences of refining spatial meshes, an excessively strong condition between steps in time and space is necessary (even for the non-uniform in time stability) which is familiar for explicit schemes in the parabolic case.

研究动机与目标

• 分析在非均匀空间网格上，一维波动方程的Numerov型紧凑高阶有限差分格式的稳定性。
• 识别在何种条件下该格式保持稳定或变得不稳定，特别关注复特征值的出现。
• 建立当复特征值出现时，任意时间上的稳定性均不可能成立，导致解范数指数增长。
• 研究严格的时间步长限制（如 $\tau \leqslant c_0 h_{\min}^2$）对非均匀网格稳定性的影响。
• 通过在精细非均匀网格上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 基于Numerov方法，为一维波动方程在非均匀空间网格上构建一个三重时间层的紧凑有限差分格式。
• 通过网格加权内积定义离散能量范数，并通过关联差分算子的特征值问题分析稳定性。
• 证明离散特征值问题中复特征值的出现意味着解范数随时间呈指数增长。
• 推导稳定性的必要条件，表明当复特征值存在时，任何空间范数下的时间一致稳定性均不成立。
• 使用一族精细非均匀网格 $\overline{\omega}_{h}^{0,K}$ 研究格式在网格细化下的行为，并推导涉及 $\tau$ 和 $h_{\min}$ 的渐近稳定性条件。
• 进行初始数据在空间上局域化的数值实验，计算随时间的误差增长，以确认理论预测的指数不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，波动方程的紧凑高阶有限差分格式在非均匀网格上变得不稳定？
• RQ2 当离散特征值问题中出现复特征值时，能否实现时间一致稳定性？
• RQ3 为确保在非均匀网格上实现非时间一致稳定性，时间步长 $\tau$ 与最小空间步长 $h_{\min}$ 之间需满足何种关系？
• RQ4 误差指数增长速率如何依赖于网格细化程度和时间跨度？
• RQ5 数值结果在多大程度上验证了理论上的不稳定性预测？

主要发现

• 离散特征值问题中复特征值的存在导致解范数呈指数增长，使格式变得强非耗散，因此不实用。
• 通过格式的谱分析证明，当复特征值存在时，任何空间范数下均无法实现时间一致稳定性。
• 对于某些精细非均匀网格序列，即使仅要求非时间一致稳定性，稳定性条件 $\tau \leqslant c_0 h_{\min}^2$ 也是必要的，类似于抛物型方程显格式的情形。
• 数值实验显示灾难性误差增长：当 $T=2$ 时，误差从 $K=20$ 时的 $1.443 \times 10^{-4}$ 增至 $K=80$ 时的 $1.082 \times 10^5$，证实了指数不稳定性。
• 观测到的实际增长速率 $\varkappa_{pr} \approx 4.817$ 与理论估计值 $\varkappa_0 \approx 4.579$（$K=20$ 时）非常接近，验证了理论模型。
• 只要复特征值存在，无论格式中参数 $\sigma$ 取何值，该格式始终不稳定，且核心稳定性条件与 $\sigma$ 无关。