[论文解读] A compactification of the space of maps from curves

Bumsig Kim, Andrew Kresch+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文构建了一个新的紧化空间，记为 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$，即对具有指定在标定点处的分歧指数 $\mu_i$ 的 genus $g$ 稳定分歧映射的模空间进行紧化。该紧化是一个带有自然虚拟基本类的恰当 Deligne-Mumford 叠，从而可通过该类的积分定义分歧 Gromov-Witten 不变量。

ABSTRACT

We construct a new compactification of the moduli space of maps from pointed nonsingular projective stable curves to a nonsingular projective variety with prescribed ramification indices at the points. It is shown to be a proper Deligne-Mumford stack equipped with a natural virtual fundamental class.

研究动机与目标

• 构建 genus $g$ 曲线到非奇异射影代数簇 $X$ 的映射模空间的恰当紧化，其中在 $n$ 个标定点处具有指定的分歧性。
• 统一四种已知的紧化方式：Fulton-MacPherson 配置空间、Kontsevich 的稳定映射、Harris-Mumford 的可接受覆盖以及 Li 的稳定相对映射。
• 通过新模空间上的虚拟基本类定义分歧 Gromov-Witten 不变量。
• 建立这些不变量与代数几何中 BPS 计数之间潜在联系的可能性，正如 Pandharipande 所猜想的那样。

提出的方法

• 利用 Fulton-MacPherson 的退化空间作为目标几何结构，通过在 $X[n] \times X$ 上沿光滑中心进行迭代的 blows-up 构造。
• 使用对数结构和（对数）可接受映射的概念来控制分歧性并确保恰当性。
• 应用对数映射的变形理论，并通过 $R\pi_*(f^*T^\dagger_{\mathcal{W}}(-\sum \mu_i p_i))$ 的对偶构造一个完美障碍理论。
• 使用 [4] 和 [21] 中的虚拟基本类构造方法，依赖于预稳定曲线与 FM 空间之叠 $\mathfrak{B}$ 的代数性与纯维性。
• 引入一个自然的态射 $Te_i: \overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta) \to \mathbb{P}TX$，通过与 $\psi$-类的积分及上拉的同调类来定义不变量。
• 应用 [23] 和 [21] 的结果，以确保虚拟类的存在性，并验证恰当性与 Deligne-Mumford 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出一个稳定分歧映射模空间的紧化，使其包含如稳定映射和可接受覆盖等已知紧化方式？
• RQ2 所得到的模空间是否携带一个自然的虚拟基本类，从而可在分歧情形下定义 Gromov-Witten 不变量？
• RQ3 是否存在分歧 Gromov-Witten 不变量与 BPS 计数之间的猜想联系，特别是在局部 Fano 情形下？
• RQ4 通过此紧化方式定义的不变量是否能恢复 Pandharipande 所猜想的已知整数值 BPS 不变量？

主要发现

• 模空间 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$ 是在特征为零的代数闭域上的一個恰当 Deligne-Mumford 叠。
• 它具有一个自然的虚拟基本类，使其适用于定义分歧 Gromov-Witten 不变量。
• 该构造统一了四种关键的紧化方式：Fulton-MacPherson 配置空间、Kontsevich 的稳定映射、Harris-Mumford 的可接受覆盖以及 Li 的稳定相对映射。
• 当 $\mu = (1,\dots,1)$ 时，该空间退化为标准的无分歧 Gromov-Witten 模空间 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,n}(X,\beta)$，从而恢复经典不变量。
• 对于三叉上局部 Fano 曲线类，分歧不变量被猜想与 BPS 计数 $n_{g,\beta}(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ 一致，且 Zinger 在无分歧情形下的整性结果为此猜想提供了支持。
• 虚拟基本类通过使用对数切丛和 [23] 与 [21] 中的变形理论工具构造的完美障碍理论实现。