[论文解读] A Compactness Theorem for Riemannian Manifolds with Boundary and Applications

Kenneth S. Knox|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文在曲率、直径、边界面积和平均曲率有界的前提下，为具有边界的均匀平均曲率黎曼3-流形建立了弱 $L^{1,p}$ 和 Hölder ($C^{\tau}$) 紧致性定理。关键结果使得两个几何稳定性定理得以成立：当里奇曲率接近零且边界接近标准球面时，流形在 $C^{\tau}$ 拓扑下接近欧几里得球；当里奇曲率接近 $\pm1$ 且平均曲率接近 $2$、$2\sqrt{2}$ 或 $0$ 时，流形在 $C^\tau$ 拓扑下分别接近曲率为 $0$、$-1$ 或 $1$ 的空间形式中的度量球。

ABSTRACT

In this paper we prove weak L^{1,p} (and thus C^α) compactness for the class of uniformly mean-convex Riemannian n-manifolds with boundary satisfying bounds on curvature quantities, diameter, and (n-1)-volume of the boundary. We obtain two stability theorems from the compactness result. The first theorem applies to 3-manifolds (contained in the aforementioned class) that have Ricci curvature close to 0 and whose boundaries are Gromov-Hausdorff close to a fixed metric on S^2 with positive curvature. Such manifolds are C^α close to the region enclosed by a Weyl embedding of the fixed metric into \R^3. The second theorem shows that a 3-manifold with Ricci curvature close to 0 (resp. -2, 2) and mean curvature close to 2 (resp. 2\sqrt 2, 0) is C^α close to a metric ball in the space form of constant curvature 0 (resp -1, 1), provided that the boundary is a topological sphere.

研究动机与目标

• 在曲率、直径、边界面积和平均曲率有界条件下，为具有边界的黎曼 $n$-流形建立紧致性定理。
• 将切赫-格罗莫夫与 kodani 型紧致性结果扩展至包含平均凸性与逐点平均曲率控制的情形。
• 在里奇曲率与平均曲率约束下，推导具有边界的3-流形的几何稳定性定理。
• 证明此类流形序列在 $C^{\tau}$ 和弱 $L^{1,p}$ 拓扑下收敛于曲率与边界几何受控的极限流形。

提出的方法

• 证明在曲率、直径、边界面积和平均曲率有界条件下，均匀平均曲率黎曼 $n$-流形（具有边界）的弱 $L^{1,p}$ 和 $C^{\tau}$ 紧致性。
• 利用调和坐标与内在分析，获得流形内部与边界上度量的 $L^{2,p}$ 控制。
• 通过平均曲率的逐点有界性控制边界附近的度量法向分量，从而获得 $L^{1,p}$ 正则性。
• 应用椭圆正则性理论与全纯二次微分理论，证明从 $\mathbb{R}^3$ 或 $\mathbb{H}^3$ 到 $S^2$ 的常平均曲率等距浸入必为球面或赤道。
• 利用展开映射与 $L^{1,p}$ 收敛性，证明极限度量具有常曲率，且等距同构于空间形式中的球体。
• 借助阿姆格伦关于极小浸入与全纯二次微分的结果，证明在第二基本形式为常数的 $C^{2,\epsilon}$ 等距浸入下，$S^2$ 到 $S^3$ 的浸入必为赤道。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅有平均曲率逐点控制的前提下，是否可为具有边界的黎曼流形建立曲率、直径、边界面积与平均曲率有界条件下的紧致性定理？
• RQ2 当3-流形序列的里奇曲率趋于零且边界在 Gromov-Hausdorff 意义下趋于正曲率的球面 $S^2$ 时，其在何种条件下收敛于 $\mathbb{R}^3$ 中的欧几里得球？
• RQ3 当3-流形的里奇曲率趋于 $-1$、$0$ 或 $1$，且平均曲率趋于 $2\sqrt{2}$、$2$ 或 $0$ 时，其在何种条件下收敛于对应空间形式中的度量球？
• RQ4 弱 $L^{1,p}$ 收敛性与曲率有界性在多大程度上可推出极限度量的 $C^{\tau}$ 正则性？
• RQ5 全纯二次微分论证能否从解析情形推广至 $C^{2,\epsilon}$ 等距浸入，以证明常平均曲率曲面的刚性？

主要发现

• 满足 $|\sec(M)|\leq K$、$\textrm{diam}(M)\leq D$、$\operatorname{area}(\partial M)\geq A_0$ 与 $0 < 1/H_0 < H < H_0$ 的均匀平均曲率黎曼 $n$-流形（具有边界）的全体，在任意 $0<\tau<1$ 与 $p<\infty$ 下，于 $C^{\tau}$ 与弱 $L^{1,p}$ 拓扑下是预紧的。
• 若一3-流形序列的里奇曲率 $\to 0$，平均曲率 $\to 2$，且边界在 Gromov-Hausdorff 意义下趋于正曲率的 $S^2$，则其极限在 $C^{\tau}$ 拓扑下接近欧几里得球。
• 若一3-流形满足 $\chi(\partial M)=2$，里奇曲率 $\to -2$，且平均曲率 $\to 2\sqrt{2}$，则其在 $C^{\tau}$ 拓扑下接近曲率为 $-1$ 的 $\mathbb{H}^3$ 中的度量球。
• 若一3-流形满足 $\chi(\partial M)=2$，里奇曲率 $\to 2$，且平均曲率 $\to 0$，则其在 $C^{\tau}$ 拓扑下接近曲率为 $1$ 的 $\mathbb{S}^3$ 中的度量球。
• 极限度量的展开映射诱导出 $S^2$ 到 $\mathbb{R}^3$ 或 $\mathbb{H}^3$ 的 $C^{2,\epsilon}$ 等距浸入，且具有常第二基本形式的此类浸入必为球面或赤道。
• 通过全纯二次微分与椭圆正则性理论，证明极限度量为 $C^{\infty}$，且等距同构于曲率为 $0$、$-1$ 或 $1$ 的空间形式中的球体。