[论文解读] A comparative study of implicit Jacobian-free Rosenbrock-Wanner, ESDIRK and BDF methods for unsteady flow simulation with high-order flux reconstruction formulations

Lai Wang, Meilin Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 42被引用 8

一句话总结

本研究比较了无雅可比雅可比自由Rosenbrock-Wanner（ROW）、ESDIRK和BDF2方法在使用高阶通量重构（FR/CPR）格式进行非定常流模拟中的表现。通过采用带有单元-雅可比预条件的GMRES求解器和伪时间推进法，作者发现ROW和ESDIRK方法比BDF2更高效，当线性求解器容差较紧时，ROW可能优于ESDIRK，尽管ESDIRK在容差较松时允许更大的时间步长且更具鲁棒性。

ABSTRACT

We conduct a comparative study of the Jacobian-free linearly implicit Rosenbrock-Wanner (ROW) methods, the explicit first stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) methods, and the second-order backward differentiation formula (BDF2) for unsteady flow simulation using spatially high-order flux reconstruction/correction procedure via reconstruction (FR/CPR) formulations. The pseudo-transient continuation is employed to solve the nonlinear systems resulting from the temporal discretizations with ESDIRK and BDF2. A Jacobian-free implementation of the restarted generalized minimal residual method (GMRES) solver is employed with a low storage element-Jacobi preconditioner to solve linear systems, including those in linearly implicit ROW methods and those from linearization of the nonlinear systems in ESDIRK and BDF2 methods. We observe that all ROW and ESDIRK schemes (from second order to fourth order) are more computationally efficient than BDF2, and ROW methods can potentially be more efficient than ESDIRK methods. However, the convergence tolerance of the GMRES solver for ROW methods needs to be sufficiently tight to preserve the nominal order of accuracy. In general, ESDIRK methods allow a larger physical time step size for unsteady flow simulation than ROW methods do.

研究动机与目标

• 评估无雅可比ROW、ESDIRK和BDF2时间积分格式在高阶FR/CPR离散化中的精度和计算效率。
• 研究线性与非线性求解器容差对ROW和ESDIRK方法在非定常流模拟中性能的影响。
• 评估这些方法在不同流动复杂度下（特别是壁面限制的湍流）的鲁棒性和阶数精度保持能力。
• 考察预条件和Krylov子空间求解器在高阶CFD方法隐式时间积分效率中的作用。
• 确定在长时间非定常模拟中，时间精度、稳定性与计算成本之间的最优平衡。

提出的方法

• 采用高阶通量重构（FR/CPR）对纳维-斯托克斯方程进行空间离散化。
• 应用多阶段时间积分格式：ROW（2–4阶）、ESDIRK（2–4阶）和BDF2进行时间离散化。
• 使用无雅可比GMRES求解器与低存储量单元-雅可比预条件器求解所有方法中的线性系统。
• 采用伪时间推进法求解ESDIRK和BDF2方法中出现的非线性系统。
• 为ROW方法收紧线性求解器容差以保持名义阶数精度，而对ESDIRK和BDF2使用较宽松的容差以降低计算成本。
• 通过泰勒-格林涡旋衰减问题进行收敛性研究，并使用参考谱解进行误差评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用高阶FR/CPR格式求解非定常流时，ROW、ESDIRK和BDF2的计算效率如何比较？
• RQ2 线性和非线性求解器容差对ROW和ESDIRK方法的精度与效率有何影响？
• RQ3 当使用不精确的线性求解时，ROW方法能否保持其名义阶数精度，这对整体效率有何影响？
• RQ4 在非定常流模拟中，特别是壁面限制湍流等复杂流动中，ROW与ESDIRK允许的时间步长有何差异？
• RQ5 单元-雅可比预条件器的性能在多大程度上影响ROW方法在高阶模拟中的效率？

主要发现

• 在使用高阶FR/CPR格式进行非定常流模拟时，ROW和ESDIRK方法显著优于BDF2。
• 当ROW方法的线性求解器容差严格控制（例如10−6）时，由于每时间步的收敛性能更优，ROW方法比ESDIRK更高效。
• ESDIRK方法允许比ROW方法更大的物理时间步长，当求解器容差放宽时，整体效率更高。
• 为保持ROW方法的名义阶数精度，GMRES求解器的收敛容差必须足够严格（例如10−6）；容差过松将导致阶数降低。
• 在不同流动条件下（如壁面附近的非定常流），ESDIRK方法比ROW方法更具鲁棒性，因其性能更一致且对容差设置的敏感性更低。
• 单元-雅可比预条件器的性能显著影响ROW方法的效率，限制了实现良好收敛行为的时间步长；而ESDIRK在较大时间步长下仍保持高效。