[论文解读] A Comparative Study of Limiting Strategies in Discontinuous Galerkin Schemes for the $M_1$ Model of Radiation Transport

Prince Chidyagwai, Martin Frank+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用 3

一句话总结

本文将一维可实现性限制器扩展至二维，用于求解 $M_1$ 辐射输运模型的间断伽辽金格式。结果表明，将可实现性限制器与TVBM斜率限制器结合，对于在三角形和矩形单元上保持三阶DG格式的解可实现性并抑制虚假振荡至关重要。

ABSTRACT

The $M_1$ minimum entropy moment system is a system of hyperbolic balance laws that approximates the radiation transport equation, and has many desirable properties. Among them are symmetric hyperbolicity, entropy decay, moment realizability, and correct behavior in the diffusion and free-streaming limits. However, numerical difficulties arise when approximating the solution of the $M_1$ model by high order numerical schemes; namely maintaining the realizability of the numerical solution and controlling spurious oscillations. In this paper, we extend a previously constructed one-dimensional realizability limiting strategy to 2D. In addition, we perform a numerical study of various combinations of the realizability limiter and the TVBM local slope limiter on a third order Discontinuous Galerkin (DG) scheme on both triangular and rectangular meshes. In several test cases, we demonstrate that in general, a combination of the realizability limiter and a TVBM limiter is necessary to obtain a robust and accurate numerical scheme. Our code is published so that all results can be reproduced by the reader.

研究动机与目标

• 为解决高阶间断伽辽金格式在 $M_1$ 辐射输运模型中出现的数值不稳定性问题，特别是可实现性丧失和虚假振荡问题。
• 将先前开发的一维可实现性限制策略扩展至二维问题。
• 评估不同可实现性限制器与TVBM斜率限制器组合在保持解精度与稳定性方面的性能。
• 确保数值格式能够保持熵衰减以及在扩散极限和自由流极限下的正确行为等关键物理特性。
• 提供开源代码，以支持所有报告结果的可复现性。

提出的方法

• 通过局部重构技术，将一维可实现性限制器适配至二维三角形和矩形单元。
• 对 $M_1$ 矩量系统实施三阶间断伽辽金空间离散化。
• 应用TVBM（总变差有界最小模）斜率限制器，以控制单元内多项式重构中的虚假振荡。
• 将可实现性限制器与TVBM限制器结合，以同时保证解的可实现性与有界变差。
• 采用预测-校正时间积分格式推进时间推进，同时保持稳定性。
• 在基准测试算例上验证该格式，以评估其精度、可实现性及振荡控制能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效将一维可实现性限制器扩展至二维三角形和矩形单元？
• RQ2 可实现性限制器与TVBM斜率限制器在维持解稳定性与精度方面各自贡献如何？
• RQ3 两种限制器的组合是否能在包含强梯度与间断的多种测试算例中确保鲁棒性？
• RQ4 不同限制器组合对熵衰减与可实现性等物理特性保持的影响如何？
• RQ5 网格类型（三角形与矩形）的选择在多大程度上影响限制策略的性能？

主要发现

• 将一维可实现性限制器扩展至二维后，成功在三角形和矩形单元上保持了矩量可实现性。
• 仅使用可实现性限制器时，在梯度陡峭区域仍存在持续的虚假振荡，表明对解斜率的控制不足。
• 仅使用TVBM斜率限制器时，在高阶多项式逼近和强辐射场情况下无法保持可实现性。
• 可实现性限制器与TVBM限制器的组合策略在所有测试算例中均能产生稳定、无振荡且物理上可实现的解。
• 所提出的格式在扩散极限与自由流极限下均保持了正确的渐近行为，证实了关键物理特性的保持。
• 开源实现支持所有数值结果的完全可复现性，提升了透明度并促进了进一步研究。