[论文解读] A comparison of element agglomeration algorithms for unstructured geometric multigrid

Steven Dargaville, A.G. Buchan+3 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文评估了七种针对三角形和四面体网格上辐射传输问题的非结构化几何多重网格方法中的单元聚合算法。采用矩阵自由求解器，发现在三维中基于METIS的激进粗化在最细网格上可实现最短的运行时间和设置时间，而在二维中所有算法表现相似，其中METIS和MGridGen因可控制的聚合体大小和较低的清理需求而表现更优。

ABSTRACT

This paper compares the performance of seven different element agglomeration algorithms on unstructured triangular/tetrahedral meshes when used as part of a geometric multigrid. Five of these algorithms come from the literature on AMGe multigrid and mesh partitioning methods. The resulting multigrid schemes are tested matrix-free on two problems in 2D and 3D taken from radiation transport applications; one of which is in the diffusion limit. In two dimensions all coarsening algorithms result in multigrid methods which perform similarly, but in three dimensions aggressive element agglomeration performed by METIS produces the shortest runtimes and multigrid setup times.

研究动机与目标

• 评估七种单元聚合算法在构建非结构化三角形/四面体网格上几何多重网格的粗网格时的性能。
• 评估不同粗化策略对高维相空间辐射传输应用中矩阵自由多重网格效率的影响。
• 确定在二维和三维问题中最小化运行时间和设置时间的最优聚合体大小与粗化激进程度。
• 在仅使用几何方法、无法存储单元矩阵的纯几何、矩阵自由框架中，将几何粗化方法与AMGe启发的算法进行比较。
• 为非结构化几何多重网格中选择聚合算法提供实用建议，尤其适用于内存受限的矩阵自由求解器。

提出的方法

• 通过从细的非结构化网格几何生成粗网格，使用单元聚合方法，无需组装或非组装的单元矩阵。
• 采用矩阵自由几何多重网格求解器，其中插值和限制算子为块结构，且无需存储矩阵。
• 评估了七种粗化算法：贪婪法、METIS、MGridGen、Jones、Kraus、RGB，以及一种基于节点的聚合方法。
• 通过目标大小（例如，二维中为4，三维中低层为8）控制聚合体大小，顶层采用激进粗化（二维中为24个单元，三维中为170–200个单元）。
• 通过求解时间、设置时间与网格复杂度衡量性能，测试对象为来自辐射传输的两个二维和两个三维问题，其中包含一个在扩散极限下的问题。
• 评估仅关注几何粗化，由于内存限制和矩阵自由约束，避免了代数算子构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同单元聚合算法如何影响非结构化网格上矩阵自由几何多重网格求解器的性能？
• RQ2 在二维和三维中，为最小化求解时间和设置时间，最细网格上的最优聚合体大小与粗化激进程度为何？
• RQ3 在纯几何多重网格设置中，针对聚合体大小的算法（如METIS、MGridGen）与限制粗单元大小的算法（如Jones、RGB）相比表现如何？
• RQ4 当使用简单块算子时，聚合体形状（如圆形/球形）在多大程度上影响多重网格性能？
• RQ5 简单的粗化策略（如基于节点的聚合或基于大小的搜索）是否能通过最少的清理工作产生可接受的性能？

主要发现

• 在二维中，所有粗化算法的求解时间相近，表明在低维情况下性能差异不明显。
• 在三维中，基于METIS的顶层激进粗化实现了最短的整体运行时间和多重网格设置时间。
• 三维中网格复杂度1.25–1.5为最优，而二维中在复杂度约1.25时表现最佳，与结构化多重网格性能相当。
• Jones、Kraus和RGB等算法表现较差，因其聚合体过小，导致网格复杂度高且运行时间增加。
• 简单的聚合方法（如基于节点连接、基于大小）在二维中表现可接受，但需大量清理，在三维中效率较低。
• METIS始终生成高质量聚合体，清理需求最少，性能最快，因此推荐用于非结构化几何多重网格。