[论文解读] A comparison of encodings for cardinality constraints in a SAT solver

Ed Wynn, Reeves, Joseph E.+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2018

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 13被引用 1

一句话总结

本文評估了三種基數約束編碼方式——Sinz的順序計數器、Bailleux-Boufkhad的樹狀結構，以及Abíão等人提出的排序基於方法——在SAT求解器中的應用。儘管這三種方法在子句數量與結構上差異顯著，順序計數器編碼在組合測試案例中仍表現出最優的執行時間。令人意外的是，透過強化編碼以消除冗餘的輔助變數解，對性能的影響極小，這挑戰了『較大編碼必然導致較慢執行』的假設。

ABSTRACT

Cardinality constraints are important in many Sat problems; previous studies provide contradictory conclusions about the best encoding to use. Here, three encodings are compared: Sinz's sequential-counter, Bailleux and Boufkhad's tree-based, and Ab\'ıo and coworkers' sort-based approaches. The sequential-counter approach is found to be the fastest of these for a range of related, combinatorial test cases. All encodings permit multiple solutions in the auxiliary variables for a single solution to the main variables; the numbers of multiple solutions can be very large, and might impede a Sat solver. Variants of the encodings are developed, where extra clauses reduce the numbers of multiple solutions. These variants are found to have remarkably little effect on solution time, even when the number of clauses is approximately doubled. The results accentuate the well-known observation that clause count and other measures of encoding size are not reliable indicators of the difficulty of a Sat problem.

研究动机与目标

• 解決先前關於SAT求解器中基數約束最佳編碼方式的矛盾研究發現。
• 在受控測試條件下，評估三種主要編碼方法：順序計數器、樹狀結構與排序基於方法。
• 探討強化編碼（透過減少輔助變數的冗餘解）是否能提升SAT求解器的性能。
• 挑戰『子句數量是SAT問題難度可靠預測指標』的假設。

提出的方法

• 本研究實作並基準測試三種基數約束編碼方式：Sinz的順序計數器、Bailleux與Boufkhad的樹狀結構，以及Abíão等人提出的排序基於編碼。
• 針對每種編碼，建立多種強化變體，以減少主變數賦值下輔助變數的解數。
• 強化技術包括單向與雙向子句，以及轉換為等式約束。
• 在涉及網格約束（正方形與三角形）的組合問題上測試編碼，主變數源自網格點。
• 透過記憶體存取次數（作為執行時間的代理指標）與子句數量來衡量求解器性能，並在不同問題規模下可視化結果。
• 改變變數排序方式（列主序、螺旋式、隨機），以評估對輸入結構的敏感度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在組合問題中，三種基數約束編碼方式——順序計數器、樹狀結構或排序基於——哪一種能提供最快的SAT求解性能？
• RQ2 透過消除輔助變數的冗餘解來強化編碼，是否能帶來可測量的SAT求解性能提升？
• RQ3 在常被用作啟發式指標的子句數量與編碼大小下，它們與SAT求解難度的相關性有多高？
• RQ4 性能結果對基數約束中主變數排序方式的敏感度如何？

主要发现

• 在所有涉及正方形與三角形的測試案例中，順序計數器編碼在所有情況下均最快，優於樹狀結構與排序基於編碼。
• 透過減少輔助變數解來強化順序計數器編碼，即使子句數量加倍，對執行時間的影響仍可忽略不計。
• 樹狀結構編碼在各變體中表現穩定，但速度仍慢於順序計數器編碼。
• 排序基於編碼是三者中最慢的，且強化技術未能改善其性能。
• 當主變數排序方式改變（列主序、螺旋式、隨機）時，未觀察到顯著的性能差異，顯示對輸入結構具有魯棒性。
• 研究結果顯示，子句數量與編碼大小無法有效預測SAT求解難度，因為強化後子句數更多但性能與原版相近的編碼表現相似。