[论文解读] A comparison of minimal systems for constructive analysis

Garyfallia Vafeiadou|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文证明了初等分析（EL）严格弱于最小分析系统（M），通过识别出公理模式$\mathrm{CF\!_{d}}$，该模式断言：每个自然数上的可判定谓词都具有特征函数。关键贡献在于证明EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$与M等价，且$\mathrm{CF\!_{d}}$捕捉了两个系统之间的本质差异，从而解决了长期以来关于它们在构造性分析中相对强度的不确定性。

ABSTRACT

We establish a precise relation between M, a subsystem of the formal axiomatic system of intuitionistic analysis FIM of S. C. Kleene, and elementary analysis EL of A. S. Troelstra, two weak formal systems of two-sorted intuitionistic arithmetic, both widely used as basis for (various forms of) constructive analysis. We show that EL is weaker than M, by introducing an axiom schema CF_d asserting that every decidable predicate of natural numbers has a characteristic function. By similar arguments, we compare some more systems of two-sorted intuitionistic arithmetic, including the formal theory BIM of W. Veldman.

研究动机与目标

• 澄清构造性分析中两个基础系统——最小分析系统（M）与初等分析（EL）——之间精确的逻辑关系。
• 识别M与EL之间精确的公理性差异，此前虽假设二者等价但尚未正式确立。
• 通过将$\mathrm{CF\!_{d}}$确定为EL中缺失的关键原理，证明EL严格弱于M。
• 证明在EL中添加$\mathrm{CF\!_{d}}$可恢复M的强度，从而确立EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$与M的等价性。
• 确认M对一阶直觉主义算术的保守性，并证明Church的$\lambda$-抽象在EL中可消去，从而扩展了先前的结果。

提出的方法

• 本文引入公理模式$\mathrm{CF\!_{d}}$，断言：每个自然数上的可判定谓词都具有特征函数。
• 证明$\mathrm{CF\!_{d}}$是M中函数 comprehension 原理$\mathrm{AC_{00}!}$的推论，从而表明EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$捕捉了M的强度。
• 通过模型论与证明论方法，证明EL不证明$\mathrm{CF\!_{d}}$，从而表明EL严格弱于M。
• 应用证明论方法，包括对J. Rand Moschovakis证明的修改，以证明Church的$\lambda$-抽象在EL中可消去。
• 将EL与BIM（基本直觉主义数学）进行比较，表明二者本质上等价，并按证明论强度对系统进行分类。
• 使用定义扩张与保守性论证，分析IA₁、HA₁、H及其选择与概括公理扩展之间在逻辑上的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 初等分析（EL）是否严格弱于最小分析系统（M），还是二者等价？
• RQ2 区分M与EL的精确逻辑原理是什么？能否将其孤立为一个公理模式？
• RQ3 在EL中添加$\mathrm{CF\!_{d}}$是否能获得与M等价的系统？$\mathrm{CF\!_{d}}$是否独立于EL？
• RQ4 Church的$\lambda$-抽象能否从EL中消去？M是否对一阶直觉主义算术保守？
• RQ5 BIM与EL在证明论上是否等价？它们与其他系统如H和IA₁有何关系？

主要发现

• EL严格弱于M，因为EL不证明$\mathrm{CF\!_{d}}$公理模式。
• $\mathrm{CF\!_{d}}$捕捉了EL与M之间的本质差异，且EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$与M等价。
• M对一阶直觉主义算术是保守的，确认了其基础强度。
• Church的$\lambda$-抽象可在EL中消去，扩展了J. Rand Moschovakis在该系统中的结果。
• EL与BIM本质上等价，且二者在证明论上均等价于IA₁ + QF-AC₀₀。
• 在H、IA₁、HA₁、EL或BIM中添加$\mathrm{CF\!_{d}}$，均会得到严格更强的系统。