[论文解读] A comparison of positivity in complex and tropical toric geometry

José Ignacio Burgos Gil, Walter Gubler+2 more|University of Regensburg Publication Server (University of Regensburg)|Mar 19, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过实与复的正性结构，建立了光滑复射影 торic簇上的不变闭正电流与它们的热带化中闭正Lagerberg电流之间的对应关系。关键结果是一个对应定理，将复侧的不变闭正电流锥与热带侧的闭正Lagerberg电流锥相联系，从而为热带toric簇上的拟凸函数建立了Bedford–Taylor理论。

ABSTRACT

Given a smooth complex toric variety we will compare real Lagerberg forms and currents on its tropicalization with invariant complex forms and currents on the toric variety. Our main result is a correspondence theorem which identifies the cone of invariant closed positive currents on the complex toric variety with closed positive currents on the tropicalization. In a subsequent paper, this correspondence will be used to develop a Bedford-Taylor theory of plurisubharmonic functions on the tropicalization.

研究动机与目标

• 比较复射影几何与热带射影几何中的正性结构。
• 发展复射影簇的热带化上的正电流理论。
• 建立复射影簇上的不变闭正电流与它们的热带化中闭正Lagerberg电流之间的对应关系。
• 为热带射影簇上拟凸函数的Bedford–Taylor理论奠定基础。

提出的方法

• 使用实与复向量空间的正性结构来比较形式与电流。
• 应用Lagerberg在实向量空间上的光滑微分形式的双分次代数，结合各层之间的相容性条件。
• 通过热带化中各层之间的投影，定义Lagerberg电流，利用相容性条件。
• 通过沿各层分解正电流并进行局部质量分析，以刻画正性。
• 应用Skoda–El Mir定理的热带类比，以确立电流的闭性。
• 使用Radon测度与正则Borel测度，定义并分析在适当映射下的总变差与像测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 复射影簇上的不变闭正电流与它们的热带化上的电流之间有何关系？
• RQ2 是否可以在热带射影簇上发展拟凸函数的Bedford–Taylor理论？
• RQ3 复不变电流与热带Lagerberg电流之间的精确对应关系是什么？
• RQ4 各层投影下的相容性条件如何影响Lagerberg形式与电流的正性？
• RQ5 热带化映射在将正性结构从复几何传递到热带几何中起什么作用？

主要发现

• 光滑复射影簇上不变闭正电流的锥，同构于其热带化上闭正Lagerberg电流的锥。
• 该对应关系通过保持分层结构与投影结构的电流的典范识别建立。
• 热带化映射保持了电流的闭性与正性，从而实现了分析性质的传递。
• 本文证明了Skoda–El Mir定理的热带类比，确保在正性条件下，电流可沿低维分层延拓。
• Lagerberg电流由各层投影下的相容性条件刻画，确保在边界方向上的常数性。
• 电流的总变差是良定义且有限的，且在适当的热带化映射下，像测度得以保持。