[论文解读] A comparison of techniques for dynamic multivariate risk measures

Zachary Feinstein, Birgit Rudloff|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Risk and Portfolio Optimization被引用 5

一句话总结

本文在交易成本和多变量索赔的背景下，比较了四种动态多变量风险度量方法——集合优化、可测选择、集合值投资组合和标量风险度量族。它建立了这些框架一致的条件，证明了原始和对偶表示，并分析了时间一致性，统一了先前在动态、多变量和摩擦敏感设置下的研究成果。

ABSTRACT

This paper contains an overview of results for dynamic multivariate risk measures. We provide the main results of four different approaches. We will prove under which assumptions results within these approaches coincide, and how properties like primal and dual representation and time consistency in the different approaches compare to each other.

研究动机与目标

• 在存在交易成本和多种资产的市场中，统一并比较四种不同的动态多变量风险度量方法。
• 识别不同框架（集合优化、可测选择、集合值投资组合、标量族）结果一致的条件。
• 分析时间一致性、原始和对偶表示，以及不同框架中计价单位选择的作用。
• 将现有集合值风险度量结果扩展到动态情形，特别是针对凸性和一致风险度量。
• 展示如何将具有多个合格资产的标量风险度量嵌入统一的多变量框架中。

提出的方法

• 使用集合优化将风险度量定义为从随机投资组合到投资组合空间中上集的集合值映射，利用凸分析处理集合值函数。
• 应用可测选择理论，通过随机集的可测选择表示风险度量，从而实现原始和对偶表示。
• 引入集合值投资组合以建模交易成本和市场摩擦，将市场 illiquidity 和交易约束嵌入风险度量构建中。
• 提出一个以多个合格资产为索引的标量风险度量族，推广现有的单变量和多变量模型。
• 利用标量化 ρₜ^w(X) = ess inf_{u∈Rₜ(X)} wᵀu 的条件凸性和下确界连续性，通过所有 w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ 的交集刻画风险度量 Rₜ(X)。
• 使用分离超平面定理和分解性质（例如 𝓕ₜ-可分解性）证明 Rₜ(X) 等于由标量化定义的半空间的交集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，集合优化、可测选择、集合值投资组合和标量族方法在动态多变量风险度量中产生等价结果？
• RQ2 在存在交易成本的情况下，这四种框架中的时间一致性属性如何不同或对齐？
• RQ3 在集合优化和可测选择方法中，原始表示与对偶表示之间有何关系？
• RQ4 具有多个合格资产的标量风险度量族能否恢复与更一般的集合值框架相同的風險评估？
• RQ5 计价单位（或无计价单位方法）的选择如何影响动态多变量风险度量的结构和性质？

主要发现

• 当风险度量为闭集且条件凸时，集合优化与可测选择方法产生等价结果，且在适当条件下保持时间一致性。
• 当标量化 ρₜ^w 具有下确界连续性和条件凸性时，具有多个合格资产的标量风险度量族可恢复与集合优化框架相同的風險评估。
• 集合值投资组合方法推广了集合优化框架，允许更大的风险度量子类，并通过嵌入集合优化结构实现对偶表示和时间一致性。
• 动态风险度量 Rₜ(X) 完全由其标量化刻画：几乎必然地，Rₜ(X) = ⋂_{w∈Mₜ₊⁺\Mₜ⊥} {u∈Mₜ : ρₜ^w(X) ≤ wᵀu}。
• 对所有 w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥，ρₜ^w 的下确界连续性意味着 Rₜ 的闭性，而 ρₜ^w 的条件凸性确保 Rₜ 为条件凸且闭。
• 通过标量化实现的 Rₜ(X) 对偶表示，使得可利用凸分析中现有的对偶性结果，特别是在集合值函数和可测选择的背景下。