[论文解读] A comparison of two approaches for polynomial time algorithms computing basic graph parameters

Frank Gurski|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 51被引用 9

一句话总结

本文比较了基于树分解与团宽表达式的动态规划方法，在树宽和团宽有界的图上高效计算基本图参数（独立数、团数、色数和团覆盖数）的性能。研究提出以宽度为参数的多项式时间算法，对树（树宽为1）和共图（团宽≤2）实现了线性时间解法，并表明两种方法具有互补性：树宽支持更广泛的基于逻辑的可解性，而团宽可捕捉更大的图类。

ABSTRACT

In this paper we compare and illustrate the algorithmic use of graphs of bounded tree-width and graphs of bounded clique-width. For this purpose we give polynomial time algorithms for computing the four basic graph parameters independence number, clique number, chromatic number, and clique covering number on a given tree structure of graphs of bounded tree-width and graphs of bounded clique-width in polynomial time. We also present linear time algorithms for computing the latter four basic graph parameters on trees, i.e. graphs of tree-width 1, and on co-graphs, i.e. graphs of clique-width at most 2.

研究动机与目标

• 比较树宽与团宽结构在多项式时间内求解NP难图问题的算法有效性。
• 设计并分析在有界树宽与有界团宽图上计算四种基本图参数的动态规划方案。
• 为特殊情况（树，树宽为1；共图，团宽≤2）提供这些参数的线性时间算法。
• 评估使用树分解与团宽表达式在参数计算中的实际与理论权衡。
• 研究补图问题与一阶逻辑表达性对这些算法框架的影响。

提出的方法

• 基于树分解设计动态规划方案，用于有界树宽图，通过自底向上的方式遍历树结构。
• 实现第二种基于团宽表达式的动态规划方案，利用顶点并集、带标签顶点间添加边以及重标记等操作。
• 在树分解或表达式树的每个节点处缓存部分解，跟踪标签配置与参数状态。
• 通过分解或表达式树中的状态传播，应用算法计算独立数、团数、色数和团覆盖数。
• 利用一阶逻辑（MSO₁）的已知结果，证明当提供团宽表达式时，有界团宽图上的线性时间解法存在。
• 比较补图问题的解法：将图的团宽表达式转换为2k-表达式，以在补图上计算参数，注意补图问题在团宽k图上需使用2k-表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 树宽与团宽结构在支持多项式时间计算基本图参数方面的能力如何比较？
• RQ2 基于树分解与团宽表达式的动态规划能否同时为独立数、团数、色数和团覆盖数提供高效算法？
• RQ3 这些算法的时间复杂度是多少？其随树宽与团宽参数的变化趋势如何？
• RQ4 为何某些问题在有界树宽图上可解但在有界团宽图上为NP难？一阶逻辑在此区分中起什么作用？
• RQ5 在有界团宽图上，直接计算补图问题与通过转换表达式计算的效率如何比较？

主要发现

• 在有界树宽与有界团宽图上，独立数、团数、色数和团覆盖数的多项式时间算法存在，运行时间随宽度参数呈指数级增长，但随输入规模呈多项式增长。
• 在树（树宽为1）与共图（团宽≤2）上，通过在相应结构上应用动态规划，可实现这四个参数的线性时间算法。
• 对于有界团宽图上的补图问题，将k-表达式转换为2k-表达式可实现对团数等参数的计算，方法是利用独立集算法，但会增加运行时间的指数部分。
• 一阶逻辑（MSO₁）可保证在提供团宽表达式时，有界团宽图上的独立数与团数问题可在线性时间内求解，但不适用于划分类问题。
• 由于Gallai恒等式τ(G) + α(G) = |V_G|，顶点覆盖数可在有界树宽与有界团宽图上在线性时间内计算，其与独立集问题相关联。
• 树宽支持更广泛的MSO₁结果应用，而团宽可涵盖更大的图类，但某些问题（如顶点不相交路径）在有界团宽图上仍为NP难，凸显了团宽的关键局限性。