[论文解读] A Comparison of Two Topos-Theoretic Approaches to Quantum Theory

Sander Wolters|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文比较了量子力学的两种拓扑斯理论方法：反变方法（Isham-Butterfield-Döring）与协变方法（Heunen-Landsman-Spitters）。研究表明，在反变方法中，预层拓扑斯中的闭开子对象的Heyting代数构成一个局部代数，该局部代数与协变方法中的内部Gelfand谱相对应。本文的关键贡献是在协变框架中提出了daseinisation的新定义，证明了在谱序下，两种方法在真值上是等价的。

ABSTRACT

The aim of this paper is to compare the two topos-theoretic approaches to quantum mechanics that may be found in the literature to date. The first approach, which we will call the contravariant approach, was originally proposed by Isham and Butterfield, and was later extended by Doering and Isham. The second approach, which we will call the covariant approach, was developed by Heunen, Landsman and Spitters. Motivated by coarse-graining and the Kochen-Specker theorem, the contravariant approach uses the topos of presheaves on a specific context category, defined as the poset of commutative von Neumann subalgebras of some given von Neumann algebra. In particular, the approach uses the spectral presheaf. The intuitionistic logic of this approach is given by the (complete) Heyting algebra of closed open subob jects of the spectral presheaf. We show that this Heyting algebra is, in a natural way, a locale in the ambient topos, and compare this locale with the internal Gelfand spectrum of the covariant approach. In the covariant approach, a non-commutative C*-algebra (in the topos Set) defines a commutative C*-algebra internal to the topos of covariant functors from the context category to the category of sets. We give an explicit description of the internal Gelfand spectrum of this commutative C*-algebra, from which it follows that the external spectrum is spatial. Using the daseinisation of self-adjoint operators from the contravariant approach, we give a new definition of the daseinisation arrow in the covariant approach and compare it with the original version. States and state-proposition pairing in both approaches are compared. We also investigate the physical interpretation of the covariant approach.

研究动机与目标

• 比较两种拓扑斯理论量子力学方法的逻辑结构：反变方法（Isham-Butterfield-Döring）与协变方法（Heunen-Landsman-Spitters）
• 研究反变方法中闭开子对象的Heyting代数与协变方法中内部Gelfand谱之间的关系
• 在协变框架中提出daseinisation的新定义，使其与反变daseinisation映射保持一致
• 比较两种方法中态-命题对的真值，澄清其在知识与属性归属意义上的物理诠释
• 探讨内部语言与拓扑斯语义在统一两种方法中的作用，提出未来形式化的发展方向

提出的方法

• 在反变拓扑斯 $[ V(A)^{ ext{op}}, extbf{Set}]$ 中构造谱预层，并研究其闭开子对象，以形成一个局部代数
• 在上下文范畴 $ V(A)$ 上引入一个拓扑空间丛 $ Sigma^*$，以表示开子对象的局部代数，提供几何图像
• 分析协变拓扑斯 $[ V(A), extbf{Set}]$ 中内蕴的交换C*-代数的Gelfand谱，证明其为空间的（即具有足够多点的局部代数）
• 在协变方法中定义两种形式的初等命题：$[a o(p,q)]_1$ 与 $[a o(p,q)]_2$，分别使用内蕴与外蕴daseinisation
• 利用谱序重新解释协变方法中的daseinisation映射，提出一种新的、内部一致的定义
• 比较两种方法中态-命题对的真值，通过定理4.9证明在谱序下二者等价

实验结果

研究问题

• RQ1 反变方法中的Heyting代数（闭开子对象）与协变方法中的内部Gelfand谱之间，其逻辑结构如何关联？
• RQ2 协变方法中的daseinisation映射能否被重新定义，使其与反变daseinisation保持一致，同时维持内部一致性？
• RQ3 协变方法中真值的物理诠释是什么？其与反变方法在知识获取与属性归属意义上的差异为何？
• RQ4 考虑到其粗粒化语义，拓扑斯 $[ V(A), extbf{Set}]$ 的内部语言在反变方法中能在多大程度上被有意义地使用？
• RQ5 是否可能将两种方法统一为一个单一的形式系统，以同时支持上下文间的粗粒化与细化？

主要发现

• 在反变方法中，谱预层的闭开子对象的Heyting代数在拓扑斯 $[ V(A)^{ ext{op}}, extbf{Set}]$ 中构成一个局部代数
• 开子对象的局部代数由一个拓扑空间丛 $ Sigma^* o V(A)$ 表示，该丛是紧致的，但通常不是正则的
• 协变方法中交换C*-代数的内部Gelfand谱是空间的，即它源于一个具有足够多点的局部代数
• 协变方法中两种形式的初等命题 $[a o(p,q)]_1$ 与 $[a o(p,q)]_2$ 在谱序下产生相同的真值，如定理4.9所示
• 基于谱序的新daseinisation定义在协变方法中提供了内部一致的构造，且与反变daseinisation映射保持一致
• 协变方法中的真值被解释为在特定上下文中对属性的知识性验证，而反变方法中的真值则反映系统实际拥有某一属性，因此协变真值可视为在不同上下文间对反变真值的强化