[论文解读] A comparison theorem for Finsler submanifolds and its applications

Wei Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过子流形的共法丛，建立了Finsler几何中Heintze-Karcher体积比较定理的版本，实现了对闭测地线长度和内接半径的下界估计。关键贡献在于引入了旗曲率、T-曲率与体积形式之间的比较估计，将经典黎曼几何结果推广至非黎曼Finsler几何，具有全局几何与曲率估计的应用价值。

ABSTRACT

In this paper, we consider the conormal bundle over a submanifold in a Finsler manifold and establish a volume comparison theorem. As an application, we derive a lower estimate for length of closed geodesics in a Finsler manifold. In the reversible case, a lower bound of injective radius is also obtained.

研究动机与目标

• 通过分析子流形的共法丛，将Heintze-Karcher比较定理从黎曼几何推广至Finsler几何。
• 利用旗曲率与T-曲率，推导Finsler流形中的体积比较估计。
• 在紧致Finsler流形中，建立闭测地线长度的下界。
• 在可逆Finsler情形下，利用相同的比较框架，获得内接半径的估计。
• 分析共法丛的几何行为及其在曲率与一致常数约束下的体积变化。

提出的方法

• 将共法丛 $\mathcal{V}^*N$ 定义为Finsler流形中法锥丛 $\mathcal{V}N$ 的Legendre变换像。
• 在共法方向 $\xi \in \mathcal{V}^*N \setminus 0$ 上引入共平均曲率 $H_\xi$，以量化子流形的几何性质。
• 利用T-曲率 $\mathbf{T}$ 衡量Chern联络的非线性性，并控制Finsler几何中的曲率偏离。
• 推导一个涉及 $\mathfrak{s}_\delta(t)$（即方程 $y'' + \delta y = 0$ 的解）与共平均曲率 $H_{\xi_0}$ 的体积比较不等式。
• 利用一致常数 $\Lambda_F$ 控制不同度量之间的体积畸变，并控制共法丛的体积。
• 采用Holmes-Thompson与Busemann-Hausdorff体积形式，将比较结果推广至非黎曼情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过共法丛将Heintze-Karcher型体积比较定理推广至Finsler流形？
• RQ2 T-曲率如何影响Finsler几何中体积增长与测地线长度的估计？
• RQ3 在Finsler流形中，基于曲率与直径约束，可导出闭测地线长度的哪些下界？
• RQ4 在可逆Finsler流形中，内接半径如何与曲率和体积相关联？
• RQ5 一致常数 $\Lambda_F$ 在控制共法丛中体积畸变方面起什么作用？

主要发现

• 对于旗曲率 $\mathbf{K} \geq \delta$、直径 $d$ 与体积 $\mu(M)$ 的紧致Finsler $m$-流形，其体积由涉及 $\mathfrak{s}_\delta(t)$ 与共平均曲率 $H_{\xi_0}$ 的积分所上界控制。
• 当 $k=0$ 时，体积上界退化为 $\mu(M) \leq \int_{S_xM} e^{-\tau(\dot{\gamma}_y(t))} d\nu_x(y) \int_0^d \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(t) dt$，推广了黎曼情形的结果。
• 当 $k \geq 1$ 时，体积满足 $\mu(M) \leq c_{m-k-1} \cdot \Lambda_F^{(3m+k)/2} \cdot \bar{\mu}(N) \cdot \int_0^{\min\{d, \zeta(\xi_0)\}} \left(\mathfrak{s}'_\delta - \frac{H_{\xi_0}}{k}\mathfrak{s}_\delta\right)^k(t) \cdot \mathfrak{s}_\delta^{m-k-1}(t) dt$，整合了曲率与平均曲率的影响。
• 推导出任意闭测地线 $\gamma$ 长度的下界：$L_g(\gamma) \geq \frac{(m-1)V}{c_{m-2} \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(\min\{d, \pi/(2\sqrt{\delta})\})}$，推广了黎曼情形的结果。
• 在可逆情形下，利用相同的比较框架，避免使用Toponogov定理，获得了内接半径的下界估计。
• 对于Randers度量 $F = \alpha + \beta$，共法丛体积被上界控制为 $c_{m-k-1} \cdot (1 - b(x))^{-(m-k+1)/2}$，其中 $b(x) = \|\beta\|_\alpha(x)$。