[论文解读] A compatible embedded-hybridized discontinuous Galerkin method for the Stokes--Darcy-transport problem

Ayçıl Çeşmeli̇oğlu, Sander Rhebergen|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用 10

一句话总结

本文提出了一种用于耦合Stokes–Darcy–transport问题的相容嵌入-混合间断伽辽金（EDG-HDG）方法，结合了质量守恒的EDG-HDG流体离散化与用于输运的嵌入DG方法。主要贡献在于证明了半离散输运问题的稳定性、适定性及最优收敛率，数值结果表明该相容方法可消除不相容格式中存在的虚假振荡。

ABSTRACT

We present a stability and error analysis of an embedded-hybridized discontinuous Galerkin (EDG-HDG) finite element method for coupled Stokes--Darcy flow and transport. The flow problem, governed by the Stokes--Darcy equations, is discretized by a recently introduced exactly mass conserving EDG-HDG method while an embedded discontinuous Galerkin (EDG) method is used to discretize the transport equation. We show that the coupled flow and transport discretization is compatible and stable. Furthermore, we show existence and uniqueness of the semi-discrete transport problem and develop optimal a priori error estimates. We provide numerical examples illustrating the theoretical results. In particular, we compare the compatible EDG-HDG discretization to a discretization of the coupled Stokes--Darcy and transport problem that is not compatible. We demonstrate that where the incompatible discretization may result in spurious oscillations in the solution to the transport problem, the compatible discretization is free of oscillations. An additional numerical example with realistic parameters is also presented.

研究动机与目标

• 开发一种用于多物理场流动中耦合Stokes–Darcy–transport问题的稳定且相容的数值离散化方法。
• 解决由于流体与输运离散化不相容而导致的输运解中虚假振荡的问题。
• 在离散层面确保全局守恒和零阶精度，以满足耦合流-输运系统中准确性和稳定性的要求。
• 证明半离散输运问题的存在性、唯一性及最优误差估计。

提出的方法

• 采用嵌入-混合间断伽辽金（EDG-HDG）方法对Stokes–Darcy流体进行离散，确保速度场严格质量守恒。
• 对输运方程采用嵌入间断伽辽金（EDG）方法，提升计算效率。
• 在自由流与多孔介质区域之间的界面处实施传输条件，包括Beavers–Joseph–Saffman条件。
• 采用相容耦合策略，确保输运方程在离散层面具有全局守恒性和零阶精度。
• 对半离散输运格式应用最优先验误差估计，证明其收敛率与理论预期一致。
• 通过采用真实参数的数值算例验证理论结果，并与不相容离散化方法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的EDG-HDG/EDG离散化是否在离散层面确保了Stokes–Darcy流体与输运方程之间的相容性？
• RQ2 该相容离散化能否防止在不相容格式中出现的输运解中的虚假振荡？
• RQ3 在所提出的相容框架下，半离散输运问题的最优收敛率是多少？
• RQ4 该相容方法在真实的地表/地下水流动与污染物输运场景中的表现如何？

主要发现

• 相容的EDG-HDG/EDG离散化确保了全局守恒与零阶精度，从而防止了输运解中的虚假振荡。
• 证明了离散输运问题的适定性，建立了解的存在性与唯一性。
• 为半离散输运格式推导出最优先验误差估计，确认了最优收敛率。
• 数值实验表明，该相容方法将常数解保持在机器精度范围内（∥1−ch∥Ω=1.5×10−13），而对不相容格式则失败，误差达2.4×10−4。
• 在具有异质渗透率的真实算例中，污染物羽流在地表水中保持紧凑，但在多孔介质中发生扩散，与物理预期一致。
• 该方法成功捕捉了污染物输运从地表流到地下水流动的过渡过程，展示了在复杂异质区域中的鲁棒性与准确性。