[论文解读] A complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property

Uffe Haagerup, Søren Knudby+1 more|University of Southern Denmark Research Portal (University of Southern Denmark)|Dec 9, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过引入一个新的障碍性质——性质 (T∗)，该性质强化了Kazhdan的性质 (T)，对具有逼近性质（AP）的连通李群给出了完整的刻画。作者证明，一个连通李群具有AP当且仅当其Levi分解中半单部分的所有单因子的实秩至多为1，并且确立了所有具有有限中心的连通单高秩李群都具有性质 (T∗)，这阻止了AP的成立，除非该群是紧致的。

ABSTRACT

We give a complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property for groups (AP). To this end, we introduce a strengthening of property (T), that we call property (T*), which is a natural obstruction to the AP. In order to define property (T*), we first prove that for every locally compact group G, there exists a unique left invariant mean on the space of completely bounded Fourier multipliers of G. A locally compact group G is said to have property (T*) if this mean is a weak* continuous functional. After proving that the groups SL(3,R), Sp(2,R), and the universal covering of Sp(2,R) have property (T*), we address the question which connected Lie groups have the AP. A technical problem that arises when considering this question from the point of view of the AP is that the semisimple part of the global Levi decomposition of a connected Lie group need not be closed. Because of an important permanence property of property (T*), this problem vanishes. It follows that a connected Lie group has the AP if and only if all simple factors in the semisimple part of its Levi decomposition have real rank 0 or 1. Finally, we are able to establish property (T*) for all connected simple higher rank Lie groups with finite center.

研究动机与目标

• 提供满足逼近性质（AP）的连通李群的完整刻画。
• 引入并发展一种新的群性质 (T∗)，作为AP的自然障碍。
• 解决在连通李群的Levi分解中，半单部分可能不闭合所带来的技术难题。
• 证明所有实秩 ≥2 且具有有限中心的连通单李群都具有性质 (T∗)，从而确立AP的一个关键障碍。
• 证明连通李群具有AP当且仅当其Levi分解中所有单因子的实秩为0或1。

提出的方法

• 为任意局部紧致群 $ G $ 的完全有界傅里叶乘子空间 $ M_{0}A(G) $ 引入并证明其上存在唯一的双边不变泛函。
• 将性质 (T∗) 定义为该不变泛函在 $ M_{0}A(G) $ 上弱*连续的条件，使其成为比性质 (T) 更强的障碍。
• 利用表示论与调和分析技术，证明 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $、$ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ 和 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ 具有性质 (T∗)。
• 利用 (T∗) 的保持性质，证明若群 $ G $ 的闭子群 $ H $ 具有 (T∗)，则在特定条件下 $ G $ 也继承 (T∗)，特别是当 $ H $ 局部同构于 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 或 $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ 时。
• 应用Veech关于不变泛函的结果，通过卷积算子和弱*连续性，将 (T∗) 从子群推广到全群。
• 利用AP在群扩张下保持不变，且可解群具有AP的性质，将刻画问题约化为Levi分解中半单部分的研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些连通李群满足逼近性质（AP）？
• RQ2 能否定义一种强于性质 (T) 的障碍，以阻止非紧致群的AP？
• RQ3 在研究AP时，如何克服Levi分解中半单部分不闭合的技术问题？
• RQ4 所有实秩 ≥2 且具有有限中心的连通单李群是否都具有性质 (T∗)？
• RQ5 实秩（≤1）条件对于连通李群的AP而言，是否既必要又充分？

主要发现

• 一个连通李群具有AP当且仅当其Levi分解中半单部分的所有单因子的实秩至多为1。
• 群 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 具有性质 (T∗)，这阻碍了AP的成立。
• 群 $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ 具有性质 (T∗)，这阻碍了AP的成立。
• 其万有覆盖群 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ 具有性质 (T∗)，这阻碍了AP的成立。
• 所有实秩 ≥2 且具有有限中心的连通单李群都具有性质 (T∗)，这意味着它们除非是紧致的，否则不具有AP。
• 一个不具有AP的连通李群必须包含一个非紧致的闭子群，该子群具有性质 (T∗)，从而提供了结构性障碍。