[论文解读] A complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober

Xiaoquan Xu, Xiaoyong Xi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过构造一个其 Scott 空间非 sober 的完整 Heyting 代数，解决了长期存在的开放问题，方法是利用拓扑空间的非空饱和紧致子集的偏序集。通过证明任意非 sober 的 T₀ 空间的上部空间在此构造下仍保持非 sober，并应用 Isbell 的非 sober 完全格的例子，作者建立了具有非 sober Scott 拓扑的完整 Heyting 代数的存在性，从而回答了 Jung 提出的问题。

ABSTRACT

We prove that (1) for any complete lattice $L$, the set $\mathcal{D}(L)$ of all nonempty saturated compact subsets of the Scott space of $L$ is a complete Heyting algebra (with the reverse inclusion order); and (2) if the Scott space of a complete lattice $L$ is non-sober, then the Scott space of $\mathcal{D}(L)$ is non-sober. Using these results and the Isbell's example of a non-sober complete lattice, we deduce that there is a complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober, thus give a positive answer to a problem posed by Jung. We will also prove that a $T_0$ space is well-filtered iff its upper space (the set $\mathcal{D}(X)$ of all nonempty saturated compact subsets of $X$ equipped with the upper Vietoris topology) is well-filtered, which answers another open problem.

研究动机与目标

• 解决 Jung 关于是否存在具有非 sober Scott 空间的分布完全格的开放问题。
• 证明拓扑空间的非空饱和紧致子集的偏序集在反向包含下构成一个完整 Heyting 代数。
• 证明若一个 T₀ 空间是非 sober 的，则其上部空间的 Scott 空间也是非 sober 的。
• 回答关于空间的 well-filtered 性是否等价于其上部空间的 well-filtered 性的开放问题。

提出的方法

• 将上部空间 D(X) 定义为 T₀ 空间 X 的所有非空饱和紧致子集的集合，并赋予上 Vietoris 拓扑。
• 证明对于任意完全格 L，其 Scott 空间的非空饱和紧致子集的偏序集 D(ΣL) 在反向包含下构成一个完整 Heyting 代数。
• 证明若一个完全格 L 的 Scott 空间是非 sober 的，则其 D(L) 的 Scott 空间也是非 sober 的。
• 利用 Isbell 的非 sober 完全格的例子，构造一个具有非 sober Scott 空间的完整 Heyting 代数。
• 建立 well-filtered 性的刻画：一个 T₀ 空间 X 是 well-filtered 当且仅当其上部空间 D(X) 是 well-filtered。
• 利用不可约集、滤子族以及上 Vietoris 拓扑中紧致性的性质，证明 well-filtered 性与上部空间 well-filtered 性的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个其 Scott 空间是非 sober 的完整 Heyting 代数？
• RQ2 上部空间的构造能否将基空间的非 sober 性保持到其上部空间？
• RQ3 一个 T₀ 空间的 well-filtered 性是否等价于其上部空间的 well-filtered 性？
• RQ4 一个 Scott 空间的非空饱和紧致子集的偏序集能否构成一个完整 Heyting 代数？
• RQ5 空间的 sobriety 与其上部空间的 sobriety 之间有何关系？

主要发现

• 存在一个具有非 sober Scott 空间的完整 Heyting 代数，为 Jung 的开放问题提供了肯定回答。
• 对于任意完全格 L，其 Scott 空间的非空饱和紧致子集的偏序集 D(ΣL) 在反向包含下构成一个完整 Heyting 代数。
• 若一个完全格 L 的 Scott 空间是非 sober 的，则其 D(L) 的 Scott 空间也是非 sober 的。
• 一个 T₀ 空间 X 是 well-filtered 当且仅当其上部空间 D(X) 是 well-filtered，解决了域理论中的一个开放问题。
• 该构造保持了非 sober 性：X 的非 sober 性蕴含 D(X) 的非 sober 性，且此性质被用于从一个完整 Heyting 代数生成一个非 sober 的 Scott 空间。
• 一个 T₀ 空间 X 的上部空间 D(X) 是 well-filtered 当且仅当 X 是 well-filtered，从而建立了完整的刻画。