[论文解读] A complexity dichotomy for poset constraint satisfaction

Michael Kompatscher, Trung Van Pham|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文建立了偏序约束满足问题（Poset-SAT）的复杂性二分法，证明了每一个此类问题要么是NP完全的，要么可在多项式时间内求解。作者采用模型论与通用代数技术，分析随机偏序的子结构上的多秩函数与pp-定义关系，最终表明可解性取决于特定多秩函数或pp-可定义关系（如Low、Betw、Cycl或Sep）的存在性。

ABSTRACT

In this paper we determine the complexity of a broad class of problems that extends the temporal constraint satisfaction problems. To be more precise we study the problems Poset-SAT($Φ$), where $Φ$ is a given set of quantifier-free $\leq$-formulas. An instance of Poset-SAT($Φ$) consists of finitely many variables $x_1,\ldots,x_n$ and formulas $ϕ_i(x_{i_1},\ldots,x_{i_k})$ with $ϕ_i \in Φ$; the question is whether this input is satisfied by any partial order on $x_1,\ldots,x_n$ or not. We show that every such problem is NP-complete or can be solved in polynomial time, depending on $Φ$. All Poset-SAT problems can be formalized as constraint satisfaction problems on reducts of the random partial order. We use model-theoretic concepts and techniques from universal algebra to study these reducts. In the course of this analysis we establish a dichotomy that we believe is of independent interest in universal algebra and model theory.

研究动机与目标

• 对由无量词≤-公式集合定义的所有偏序约束满足问题（Poset-SAT）的计算复杂性进行分类。
• 基于约束语言的结构，判断此类问题是否为NP完全或可在多项式时间内求解。
• 将通用代数方法扩展至无限域约束满足问题，特别是随机偏序的子结构上。
• 建立类似于先前对有理数序、随机图及C-关系上CSP分类的二分法。
• 证明对于随机偏序的有限关系子结构，决定可解性的元问题（meta-problem）是可判定的。

提出的方法

• 将每个Poset-SAT问题形式化为在随机偏序的子结构上定义的约束满足问题，该结构在模型论中是齐次的。
• 应用通用代数框架，通过分析这些子结构的多秩函数克隆与自同态幺半群来研究其性质。
• 利用Ramsey理论技术，建立多秩函数在大子结构上的规律性，从而支持组合分析。
• 通过伪Siggers多秩函数的存在性或涉及自同态与多秩函数的特定方程，刻画可解情形。
• 利用已知的pp-定义关系与模型完全核心结果，判断有限结构是否可被pp-定义于扩展模板中。
• 将分类问题简化为三种情形：平凡问题、可约化为线性时间CSP的问题，以及随机偏序上的模型完全核心问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限无量词≤-公式集合，其对应的Poset-SAT问题是可解的或NP完全的？
• RQ2 约束语言的何种结构性质决定了Poset-SAT问题是P类还是NP完全的？
• RQ3 在何种条件下，随机偏序的子结构可pp-定义1-in-3 SAT问题？
• RQ4 对于给定的Poset-SAT实例，判断其可解性的元问题是否可算法判定？
• RQ5 在随机偏序的子结构上，多秩函数与自同态的行为如何决定相关CSP的复杂性？

主要发现

• 每个Poset-SAT问题要么是NP完全的，要么可在多项式时间内求解，从而确立了复杂性二分法。
• 当且仅当约束语言中pp-可定义了关系Low、Betw、Cycl或Sep之一时，问题为NP完全。
• 当关系<和⊥可pp-定义但Low不可定义时，且存在伪Siggers多秩函数时，问题可解。
• 多秩函数克隆到平凡克隆存在同态，当且仅当问题为NP完全。
• 对于给定Poset-SAT实例是否可解的元问题，是可判定的。
• 即使在考虑添加有限多个常量的扩展结构时，该二分法依然成立，且其条件可被完全代数化刻画。