[论文解读] A Composable Coreset for k-Center in Doubling Metrics

Sepideh Aghamolaei, Mohammad Ghodsi|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于双倍度量空间中 k-center 问题的可组合共轭核（coreset），在 |P| 上实现次线性大小的 (1+ε)-近似，从而在常数轮次和次线性通信下，使 MapReduce 中的 (2+ε)-近似算法成为可能。该方法利用参数化剪枝，并利用双倍性质，在双倍维数有界的度量空间中实现高效且可扩展的聚类。

ABSTRACT

A set of points $P$ in a metric space and a constant integer $k$ are given. The $k$-center problem finds $k$ points as centers among $P$, such that the maximum distance of any point of $P$ to their closest centers $(r)$ is minimized. Doubling metrics are metric spaces in which for any $r$, a ball of radius $r$ can be covered using a constant number of balls of radius $r/2$. Fixed dimensional Euclidean spaces are doubling metrics. The lower bound on the approximation factor of $k$-center is $1.822$ in Euclidean spaces, however, $(1+\epsilon)$-approximation algorithms with exponential dependency on $\frac{1}{\epsilon}$ and $k$ exist. For a given set of sets $P_1,\ldots,P_L$, a composable coreset independently computes subsets $C_1\subset P_1, \ldots, C_L\subset P_L$, such that $\cup_{i=1}^L C_i$ contains an approximation of a measure of the set $\cup_{i=1}^L P_i$. We introduce a $(1+\epsilon)$-approximation composable coreset for $k$-center, which in doubling metrics has size sublinear in $|P|$. This results in a $(2+\epsilon)$-approximation algorithm for $k$-center in MapReduce with a constant number of rounds in doubling metrics for any $\epsilon>0$ and sublinear communications, which is based on parametric pruning. We prove the exponential nature of the trade-off between the number of centers $(k)$ and the radius $(r)$, and give a composable coreset for a related problem called dual clustering. Also, we give a new version of the parametric pruning algorithm with $O(\frac{nk}{\epsilon})$ running time, $O(n)$ space and $2+\epsilon$ approximation factor for metric $k$-center.

研究动机与目标

• 设计一种用于双倍度量空间中 k-center 问题的可组合共轭核，确保在 |P| 上实现次线性大小的 (1+ε)-近似。
• 在常数轮次和次线性通信下，实现在类似 MapReduce 的分布式系统中高效且可扩展的 k-center 聚类。
• 形式化双倍度量空间中中心数 k 与半径 r 之间的指数级权衡关系。
• 通过可组合共轭核构造，将该框架扩展至相关问题——对偶聚类。
• 优化参数化剪枝算法，使其在 O(nk/ε) 时间、O(n) 空间下实现 2+ε 的近似因子。

提出的方法

• 通过从分布式点集的每个分区 Pi 中独立采样子集来构建可组合共轭核，确保共轭核的并集近似于全集的 k-center。
• 在双倍度量空间中，应用参数化剪枝以减少点集，同时保持 (1+ε)-近似保证。
• 由于双倍性质限制了覆盖半径为 r 的球体所需的半径为 r/2 的球体数量，共轭核大小在 |P| 上为次线性。
• 基于双倍维数的分层聚类方法用于限制共轭核大小并确保近似质量。
• 提出一种新的参数化剪枝变体，时间复杂度为 O(nk/ε)，空间复杂度为 O(n)，实现对度量 k-center 的 2+ε 近似。
• 通过将共轭核框架适配到固定半径下最小化聚类数的对偶目标，将构造扩展至对偶聚类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为双倍度量空间中的 k-center 问题构造一个可组合共轭核，实现在 |P| 上次线性大小的 (1+ε)-近似？
• RQ2 双倍度量空间中中心数 k 与半径 r 之间的内在权衡是什么？能否对其进行形式化表征？
• RQ3 如何优化参数化剪枝，以在 MapReduce 中实现 k-center 问题的次线性通信与常数轮次性能？
• RQ4 可组合共轭核框架能否扩展至对偶聚类问题，即在固定半径下最小化聚类数？
• RQ5 实现对度量 k-center 问题 2+ε 近似的参数化剪枝算法的时间与空间复杂度是多少？

主要发现

• 所提出的可组合共轭核在双倍度量空间中实现了 k-center 问题的 (1+ε)-近似，且在 |P| 上为次线性大小，利用双倍性质限制了共轭核的增长。
• 该共轭核使 MapReduce 中 k-center 问题的 (2+ε)-近似算法成为可能，且轮次为常数、通信量为次线性，适用于大规模分布式部署。
• 本文证明了双倍度量空间中中心数 k 与半径 r 之间存在指数级权衡，形式化了在此约束下的聚类根本限制。
• 设计了一种新的参数化剪枝算法，时间复杂度为 O(nk/ε)，空间复杂度为 O(n)，近似因子为 2+ε，相比先前方法更具效率。
• 该框架成功扩展至对偶聚类，证明了可组合共轭核方法在相关聚类目标上的通用性。