[论文解读] A Composite Risk Measure Framework for Decision Making under Uncertainty

Pengyu Qian, Zizhuo Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文提出了一种复合风险度量（CRM）框架，通过最小化两层风险度量，统一了随机规划、鲁棒优化和分布鲁棒模型。内层风险度量在已知分布下捕捉决策风险，外层风险度量则利用贝叶斯后验分布量化分布不确定性。该框架在保持概率保证的前提下，得到的解更为宽松，通过投资组合选择实验验证了其在风险调整后收益方面的改进。

ABSTRACT

In this paper, we present a unified framework for decision making under uncertainty. Our framework is based on the composite of two risk measures, where the inner risk measure accounts for the risk of decision given the exact distribution of uncertain model parameters, and the outer risk measure quantifies the risk that occurs when estimating the parameters of distribution. We show that the model is tractable under mild conditions. The framework is a generalization of several existing models, including stochastic programming, robust optimization, distributionally robust optimization, etc. Using this framework, we study a few new models which imply probabilistic guarantees for solutions and yield less conservative results comparing to traditional models. Numerical experiments are performed on portfolio selection problems to demonstrate the strength of our models.

研究动机与目标

• 为解决现有方法中缺乏整合随机规划、鲁棒优化、分布鲁棒优化及最坏情况风险模型的统一框架的问题。
• 通过不仅将风险度量应用于目标函数，还应用于分布不确定性下的期望泛函，填补现有文献的空白。
• 将贝叶斯方法引入不确定性决策中的分布不确定性建模。
• 在CRM框架内开发新的、具有实际意义的模型，提供概率保证并降低保守性。

提出的方法

• 该框架最小化由两部分风险度量构成的复合度量：内层风险度量（如CVaR或VaR）在已知分布下应用于目标函数，外层风险度量则应用于分布不确定性。
• 外层风险度量利用模型参数的贝叶斯后验分布来量化估计误差的风险，从而对分布不确定性进行合理处理。
• 当内层与外层风险度量均为凸函数时，该模型在温和条件下保持凸性，确保优化问题的可解性。
• 该框架可推广现有模型：随机规划（外层风险 = 期望值）、鲁棒优化（外层风险 = 最坏情况）、分布鲁棒优化（外层风险 = 模糊集上最坏情况期望）。
• 构建了新模型，包括VaR-期望、CVaR-期望和CVaR-CVaR，这些模型在风险与收益之间实现平衡，并提供概率保证。
• 数值实验使用历史市场数据，在300天内进行动态投资组合再平衡，将CRM模型与DRO、最坏情况VaR及个股基准进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一框架，将随机规划、鲁棒优化和分布鲁棒优化统一于单一基于风险的结构之下？
• RQ2 如何将风险度量不仅应用于目标函数，还应用于分布不确定性下的期望泛函？
• RQ3 在决策框架中使用贝叶斯后验分布建模分布不确定性会产生何种影响？
• RQ4 与传统模型相比，CRM模型是否能在保持相同水平概率保证的前提下，产生更不保守的解？
• RQ5 在真实世界的动态交易场景中，CRM投资组合模型相较于现有基准表现如何？

主要发现

• 当内层与外层风险度量均为凸函数时，CRM框架在温和条件下保持凸性，确保优化问题的可解性。
• VaR-期望与CVaR-期望模型的平均每日收益率（0.096%）高于DRO（0.088%）与最坏情况VaR（0.087%）模型。
• CVaR-CVaR模型的波动率最低（1.17×10⁻²），优于个股基准（2.17×10⁻²）。
• 即使在大规模投资组合中，计算时间仍保持合理：n=50只股票的CVaR-CVaR模型在N=5000次样本下，平均每次求解耗时29.33秒。
• 随着样本量增加，最优解趋于收敛，表明CRM框架具有稳定性和鲁棒性。
• 数值结果表明，CRM模型在保持等效概率保证的同时，提供比传统模型更不保守的解。