[论文解读] A composition theorem for bisimulation functions

Antoine Girard|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文提出了一种用于互联动力系统中双仿真函数的构造性组合定理，实现了从子系统层级函数模块化计算双仿真函数。通过满足小增益条件（$\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$），该方法利用加权和组合各个双仿真函数，确保复合函数满足整体系统双相似性度量所需的无穷小递减条件。

ABSTRACT

The standard engineering approach to modelling of complex systems is highly compositional. In order to be able to understand (or to control) the behavior of a complex dynamical systems, it is often desirable, if not necessary, to view this system as an interconnection of smaller interacting subsystems, each of these subsystems having its own functionalities. In this paper, we propose a compositional approach to the computation of bisimulation functions for dynamical systems. Bisimulation functions are quantitative generalizations of the classical bisimulation relations. They have been shown useful for simulation-based verification or for the computation of approximate symbolic abstractions of dynamical systems. In this technical note, we present a constructive result for the composition of bisimulation functions. For a complex dynamical system consisting of several interconnected subsystems, it allows us to compute a bisimulation function from the knowledge of a bisimulation function for each of the subsystem.

研究动机与目标

• 开发一种用于由互联子系统构成的复杂动力系统中双仿真函数计算的组合方法。
• 将双仿真函数——双仿真关系的定量类比——的应用扩展至基于仿真验证与动力系统的近似抽象。
• 建立子系统双仿真函数可组合为整体系统有效双仿真函数的充分条件。
• 类比李雅普诺夫小增益定理在稳定性分析中的作用，为双仿真函数提供类似的组合分析框架。

提出的方法

• 本文将复杂系统建模为两个子系统的互联系统，其中每个子系统具有内部状态、外部输入，以及由另一子系统状态导出的耦合信号。
• 定义复合双仿真函数 $V(x,x')$ 为个体双仿真函数 $V_1$ 和 $V_2$ 的加权和，权重分别为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。
• 推导出复合函数满足无穷小递减性质的充分条件：$\frac{\partial V}{\partial x}f(x,u) + \frac{\partial V}{\partial x'}f(x',u') \leq -\lambda V(x,x') + \gamma \|u - u'\|$。
• 引入小增益条件 $\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$，作为存在满足所需不等式的有效权重 $\alpha_1 \geq 1$，$\alpha_2 \geq 1$ 的必要且充分条件。
• 通过递归应用，将该构造推广至多个子系统，同时以显式的几何构型说明可行的权重选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从单个子系统的双仿真函数构造出互联动力系统的双仿真函数？
• RQ2 为确保复合函数保持为有效双仿真函数，必须满足哪些条件？
• RQ3 如何选择权重 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 以满足小增益条件并确保复合函数的无穷小递减性质？
• RQ4 是否存在此类组合存在的必要且充分条件？若存在，其形式为何？

主要发现

• 若 $\alpha_1 \geq 1$，$\alpha_2 \geq 1$，$\alpha_1\lambda_1 - \alpha_2\gamma_2 > 0$，且 $\alpha_2\lambda_2 - \alpha_1\gamma_1 > 0$，则复合双仿真函数 $V(x,x') = \alpha_1 V_1(x_1,x_1') + \alpha_2 V_2(x_2,x_2')$ 满足所需的无穷小递减条件。
• 小增益条件 $\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$ 是存在此类权重 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的必要且充分条件。
• 复合函数实现的递减速率为 $\lambda = \min\left(\frac{\alpha_1\lambda_1 - \alpha_2\gamma_2}{\alpha_1}, \frac{\alpha_2\lambda_2 - \alpha_1\gamma_1}{\alpha_2}\right)$，干扰增益为 $\gamma = \alpha_1\gamma_1 + \alpha_2\gamma_2$。
• 该方法具有构造性：给定子系统的有效双仿真函数后，可依据推导出的权重选择规则显式构建复合函数。
• 该方法将基于李雅普诺夫的小增益定理推广至双仿真函数的语境，实现了对动力系统的组合式分析。