[论文解读] A composition theorem for decision tree complexity

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文建立了复合关系 $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ 的决策树复杂度的组合定理，其中每个 $ f^i $ 为布尔值。证明了 $ h $ 的决策树复杂度恰好是 $ g $ 与各 $ f^i $ 复杂度的组合，从而对迭代布尔函数给出了紧致刻画，并得出了决策树复杂度的直接和定理。

ABSTRACT

We completely characterise the complexity in the decision tree model of computing composite relations of the form h = g(f^1,...,f^n), where each relation f^i is boolean-valued. Immediate corollaries include a direct sum theorem for decision tree complexity and a tight characterisation of the decision tree complexity of iterated boolean functions.

研究动机与目标

• 为了刻画复合关系 $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ 的决策树复杂度，其中每个 $ f^i $ 为布尔值。
• 为通过子函数的黑箱评估组合决策树是否始终最优这一问题提供解答。
• 建立一个紧致的组合定理，该定理可推广至关系，而不仅限于函数。
• 推导决策树复杂度的新结果，包括直接和定理以及迭代布尔函数的复杂度界。

提出的方法

• 形式化关系的决策树模型，定义定义域、值域和查询复杂度。
• 引入加权决策树模型，其中每个子函数 $ f^i $ 被赋予权重 $ D(f^i) $，表示其决策树复杂度。
• 定义一个复合函数 $ \bar{g} $，用子函数 $ f^i $ 替换 $ g $ 的输入，并通过递归组合分析其复杂度。
• 通过变量依赖关系的归纳法与情形分析，证明最优策略是独立计算每个 $ f^i $ 并组合其输出。
• 应用组合定理，通过分析在 $ f^i $ 提供的加权输入下 $ g $ 的最坏情况复杂度，推导 $ D(h) $ 的界。
• 证明组合树的深度等于 $ D(g, [D(f^1), \dots, D(f^n)]) + 1 $，其中权重为子函数的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算复合关系 $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ 时，是否自然策略——即独立计算每个子函数 $ f^i $ 并组合其输出——是最优的？
• RQ2 当 $ f^i $ 为布尔值时，复合关系 $ h $ 的决策树复杂度能否被精确地用 $ g $ 与 $ f^i $ 的复杂度来刻画？
• RQ3 该组合定理是否意味着决策树复杂度的直接和定理，即总复杂度等于各复杂度之和？
• RQ4 迭代布尔函数（如 $ f^{(k)} $，其递归定义为 $ f^{(k)}(x) = f(f^{(k-1)}(x^1), \dots, f^{(k-1)}(x^n)) $）的决策树复杂度是多少？
• RQ5 在何种条件下，可通过子函数在变量限制下的最大复杂度来界定 $ g $ 的复杂度？

主要发现

• 复合关系 $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ 的决策树复杂度恰好为 $ D(h) = D(g, [D(f^1), \dots, D(f^n)]) + 1 $，其中 $ D(f^i) $ 表示 $ f^i $ 的决策树复杂度。
• 对于迭代布尔函数 $ f^{(k)} $，其决策树复杂度满足 $ D(f^{(k)}) = D(f)^k $，证明了迭代下复杂度呈指数级紧致增长。
• 组合定理蕴含直接和定理：对于独立的布尔关系 $ f^1, \dots, f^n $，同时计算所有输出的复杂度为 $ D(h) = \sum_{i=1}^n D(f^i) $。
• 即使子函数 $ f^i $ 不为常数，该结果依然成立，且最优策略为在将输出输入 $ g $ 之前独立计算每个 $ f^i $。
• 证明技术可扩展至加权决策树，并表明降低任一子函数的权重不会增加复合函数的整体复杂度。
• 该定理解决了决策树复杂度组合领域长期存在的问题，并为查询复杂度中的进一步结果（包括量子查询界）奠定了基础。