[论文解读] A comprehensive class of harmonic functions defined by convolution and its connection with integral transforms and hypergeometric functions

Sumit Nagpal, V. Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文通过与特定核函数的调和卷积，引入了一类全面的调和函数，建立了系数不等式、增长与覆盖定理以及闭包性质。该类与积分变换和超几何函数相关联，推导出成员资格的充要条件，并证明了星型与凸调和映射子类之间的精确包含关系及单性半径。

ABSTRACT

For given two harmonic functions $Φ$ and $Ψ$ with real coefficients in the open unit disk $\mathbb{D}$, we study a class of harmonic functions $f(z)=z-\sum_{n=2}^{\infty}A_nz^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\bar{z}^n$ $(A_n, B_n \geq 0)$ satisfying \[\RE \frac{(f*Φ)(z)}{(f*Ψ)(z)}>α\quad (0\leq α<1, z \in \mathbb{D});\] * being the harmonic convolution. Coefficient inequalities, growth and covering theorems, as well as closure theorems are determined. The results obtained extend several known results as special cases. In addition, we study the class of harmonic functions $f$ that satisfy $\RE f(z)/z>α$ $(0\leq α<1, z \in \mathbb{D})$. As an application, their connection with certain integral transforms and hypergeometric functions is established.

研究动机与目标

• 通过参数化核函数的调和卷积，定义并研究一类保向的调和单叶函数的新类。
• 为所引入的类建立系数不等式、增长定理与覆盖定理，以及闭包性质。
• 探讨该类与积分变换及超几何函数之间的联系。
• 确定调和映射子类之间（包括完全星型与完全凸函数）的精确包含关系。
• 计算在原点处解析导数为零的函数类的精确单性、星型与凸性半径。

提出的方法

• 通过调和函数 $f$ 与两个满足 $p_n > u_n \geq 0$ 和 $q_n > v_n \geq 0$ 的调和核函数 $\Phi_i$ 与 $\Psi_j$ 的调和卷积，定义类 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$。
• 通过条件 $\operatorname{Re}\left(\frac{(f*\Phi_i)(z)}{(f*\Psi_j)(z)}\right) > \alpha$ 对 $z \in \mathbb{D}$ 且 $0 \leq \alpha < 1$ 来刻画该类。
• 利用逐系数分析与控制技术，推导出 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ 成员资格的充要条件。
• 通过将核函数 $\Phi_i$ 与 $\Psi_j$ 表示为 $F(a,b,c;z)$ 的形式，并应用高斯求和定理，建立与超几何函数的联系。
• 利用已知的调和单叶映射结果（如 Marx–Strohhäcker 定理及文献 [11, 12, 18] 中的系数界），推导包含关系与半径结果。
• 通过极值函数（如 $f(z) = z + \frac{1}{4}\bar{z}^2$）证明包含关系与半径界为精确的。

实验结果

研究问题

• RQ1 调和函数属于由调和卷积定义的类 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ 的必要与充分系数条件是什么？
• RQ2 完全星型与完全凸调和映射类（阶为 $\alpha$）如何作为所引入类的特例出现？
• RQ3 类 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ 与积分变换或超几何函数之间存在何种关系？
• RQ4 子类如 $\mathcal{TK}_H^0(\alpha)$、$\mathcal{TS}_H^{*0}(\alpha)$ 与 $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ 之间的精确包含关系是什么？
• RQ5 $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ 中函数的精确单性、星型与凸性半径是多少？

主要发现

• 类 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ 包含已知的子类 $\mathcal{TS}_H^*(\alpha)$ 与 $\mathcal{TK}_H(\alpha)$，当 $\Phi_i$ 与 $\Psi_j$ 取适当值时即为特例。
• 包含关系 $\mathcal{TK}_H^0(\alpha) \subset \mathcal{TU}_H^\left(\frac{3 - \alpha}{2(2 - \alpha)}\right)$ 成立且为精确的，极值函数为 $f(z) = z + \frac{1}{4}\bar{z}^2$。
• 包含关系 $\mathcal{TS}_H^{*0}(\alpha) \subset \mathcal{TU}_H^0\left(\frac{1}{2 - \alpha}\right)$ 为精确的，极值函数为 $f(z) = z - \frac{1 - \alpha}{2 - \alpha}z^2$。
• $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ 的单性与星型半径为 $\frac{1}{2(1 - \alpha)}$，凸性半径为 $\frac{1}{4(1 - \alpha)}$，两者均为精确的。
• 类 $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ 在某些积分变换下保持不变，且其成员资格可通过超几何函数表示来刻画。
• 函数 $f(z) = z + \frac{1 - \alpha}{4}\bar{z}^2$ 表明 $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ 的凸性半径 $\frac{1}{4(1 - \alpha)}$ 为精确的。