[论文解读] A comprehensive deep learning-based approach to reduced order modeling of nonlinear time-dependent parametrized PDEs

Stefania Fresca, Luca Dede’+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于深度学习的降阶模型（DL-ROM），通过数据驱动的深度学习方法，同时学习参数化、非线性时间依赖PDE的非线性试验流形和降阶动力学。该方法在极低的降阶维数下实现了高精度——其性能与传统POD-based ROM相当或更优，而后者需要多数量级更多的模态，尤其在具有传播相干结构（如波或对流主导流）的问题中表现更优。

ABSTRACT

Traditional reduced order modeling techniques such as the reduced basis (RB) method (relying, e.g., on proper orthogonal decomposition (POD)) suffer from severe limitations when dealing with nonlinear time-dependent parametrized PDEs, because of the fundamental assumption of linear superimposition of modes they are based on. For this reason, in the case of problems featuring coherent structures that propagate over time such as transport, wave, or convection-dominated phenomena, the RB method usually yields inefficient reduced order models (ROMs) if one aims at obtaining reduced order approximations sufficiently accurate compared to the high-fidelity, full order model (FOM) solution. To overcome these limitations, in this work, we propose a new nonlinear approach to set reduced order models by exploiting deep learning (DL) algorithms. In the resulting nonlinear ROM, which we refer to as DL-ROM, both the nonlinear trial manifold (corresponding to the set of basis functions in a linear ROM) as well as the nonlinear reduced dynamics (corresponding to the projection stage in a linear ROM) are learned in a non-intrusive way by relying on DL algorithms; the latter are trained on a set of FOM solutions obtained for different parameter values. In this paper, we show how to construct a DL-ROM for both linear and nonlinear time-dependent parametrized PDEs; moreover, we assess its accuracy on test cases featuring different parametrized PDE problems. Numerical results indicate that DL-ROMs whose dimension is equal to the intrinsic dimensionality of the PDE solutions manifold are able to approximate the solution of parametrized PDEs in situations where a huge number of POD modes would be necessary to achieve the same degree of accuracy.

研究动机与目标

• 为克服传统降基方法（如降基（RB）方法）的局限性，后者依赖线性叠加，对具有相干结构的非线性、时间依赖参数化PDE失效。
• 开发一种非侵入式、数据驱动的框架，通过深度学习同时学习非线性试验流形和降阶动力学，避免投影型线性ROM的计算瓶颈。
• 构建一种DL-ROM，能够在降阶维数等于内在流形维数的情况下，准确逼近参数化PDE的高保真解，即使在传输和波型等挑战性问题中亦然。
• 在多种参数化PDE问题中展示该方法的有效性，表明其在显著少于传统POD-based ROM的自由度下，仍能实现更优的精度。

提出的方法

• DL-ROM通过卷积自编码器（CAE）学习非线性试验流形，该网络通过编码器将高维全阶模型（FOM）解映射到低维潜在空间。
• 解码器网络从潜在编码重建FOM解，形成对解流形的非线性参数化近似。
• 通过一个深度前馈神经网络学习降阶动力学，将时间与参数输入映射到潜在编码，从而实现在新参数和时间值下的在线解评估。
• 整个DL-ROM在一组为不同参数值计算的FOM解上以非侵入方式训练，无需访问底层PDE的弱形式或残差投影。
• 该架构结合卷积层以提取空间特征，并通过参数共享降低模型复杂度，适用于由PDE空间离散化产生的高维FOM。
• 该方法被应用于线性和非线性时间依赖参数化PDE，训练与推理使用标准深度学习框架完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于深度学习的方法是否能在逼近具有相干结构（如波或对流前缘）的参数化、非线性、时间依赖PDE方面，超越传统线性降阶模型？
• RQ2 通过卷积自编码器学习的非线性试验流形，在保持高精度的同时，与POD-based方法相比，能否显著降低解流形的维数？
• RQ3 当POD模态数量变得对收敛性而言计算上不可行时，DL-ROM在在线计算效率和精度方面表现如何？
• RQ4 所提出的非侵入式、数据驱动框架能否推广至具有不同参数依赖性和时间动态的线性和非线性PDE？
• RQ5 在对流主导或波型问题中，DL-ROM达到与高模态POD-ROM相当精度所需的最小降阶维数是多少？

主要发现

• DL-ROM在等于解流形内在维数的降阶维数下实现了高精度，显著优于传统POD-based ROM，后者需多得多的模态才能达到类似精度。
• 对于波型和对流主导问题，即使POD模态数量达到计算上不可行的程度，DL-ROM仍能保持高精度。
• 该方法表现出优越的在线效率，推理时间与标准ROM相当或更快，原因在于通过深度神经网络实现了从参数和时间到解的直接映射。
• 卷积自编码器的使用有效学习了解流形中的空间相干结构，能比线性模态更准确地捕捉传播前缘或波包等特征。
• 数值实验表明，DL-ROM仅需少数潜在维数即可实现相对误差低于1e-3的解逼近，而POD-based ROM在同一测试案例中需数百个模态才能达到类似精度。
• 该框架在不同类型PDE中表现稳健，包括线性和非线性时间依赖问题，并能有效扩展至由空间离散化产生的高维FOM。