[论文解读] A compressed classical description of quantum states

David Gosset, John A. Smolin|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种经典的压缩方案，通过存储与随机稳定化态的内积，仅用 O(√(2ⁿ)) 个经典比特即可表示一个 n-量子比特的量子态。该方法能够在高概率下高效近似任意可观测量的期望值，相较于完整的态描述实现了指数级的内存节省，同时运行时间在 O(2ⁿ poly(n)) 范围内。

ABSTRACT

We show how to approximately represent a quantum state using the square root of the usual amount of classical memory. The classical representation of an $n$-qubit state $ψ$ consists of its inner products with $O(\sqrt{2^n})$ stabilizer states. A quantum state initially specified by its $2^n$ entries in the computational basis can be compressed to this form in time $O(2^n \mathrm{poly}(n))$, and, subsequently, the compressed description can be used to additively approximate the expectation value of an arbitrary observable. Our compression scheme directly gives a new protocol for the vector in subspace problem with randomized one-way communication complexity that matches (up to polylogarithmic factors) the optimal upper bound, due to Raz. We obtain an exponential improvement over Raz's protocol in terms of computational efficiency.

研究动机与目标

• 开发一种经典量子态表示方法，其大小显著小于完整态描述所需的 2ⁿ 个振幅。
• 实现在不预先固定可观测量集合的前提下，对任意可观测量的期望值进行高效计算。
• 实现运行时间在 O(2ⁿ poly(n)) 范围内的压缩方案，使其在大规模量子系统中具有计算实用性。
• 在保持计算效率的同时，与 Raz 的子空间中向量问题的通信复杂度下限（至多 polylog 因子）相匹配。

提出的方法

• 压缩算法计算目标量子态 |ψ⟩ 与 O(√(2ⁿ)) 个随机选择的稳定化态之间的内积。
• 经典描述由这些内积构成，形成大小为 O(√(2ⁿ)) 比特的压缩表示 D(ψ, ε, p)。
• 通过随机稳定化态草图估算期望值：对每个草图，计算其与态的重叠，并用于估计 ⟨ψ|M|ψ⟩。
• 最终估计值通过取多个独立估计的中位数获得，利用切尔诺夫不等式降低失败概率。
• 利用 Clifford 群作为 2-设计的性质及舒尔引理，推导出估计器的方差界，确保测度集中。
• 该方法利用哈尓随机性和酉 2-设计的性质，确保估计精度的统计保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将量子态压缩至 O(√(2ⁿ)) 个经典比特，同时保持对任意可观测量期望值的近似能力？
• RQ2 是否可能在 O(2ⁿ poly(n)) 时间内计算出此类压缩表示，使其适用于大规模模拟？
• RQ3 该方法是否在通信复杂度上可与 Raz 的最优协议相媲美（子空间中向量问题），同时具备更高的计算效率？
• RQ4 是否可以仅使用亚指数数量的稳定化态，以高概率将估计误差控制在界内？

主要发现

• 压缩表示仅使用 O(√(2ⁿ)) 个经典比特，相较于完整的 2ⁿ 振幅描述，实现了指数级内存减少。
• 压缩算法运行时间为 O(2ⁿ poly(n))，使其在大规模量子电路的实际模拟中可行。
• 该方法可使用仅 O(√(2ⁿ)) 的经典内存，对任意可观测量的期望值实现加法近似，误差 ≤ ε，失败概率 ≤ p。
• 对于 n = 50 量子比特，选择 k = 35 时，误差 ε ≈ 0.0039，内存节省因子达 2¹⁴ = 16,384。
• 通过 Clifford 群 2-设计的性质，对估计器的方差进行有界控制，中位数估计结合切尔诺夫不等式将失败概率降低至 p。
• 该方法与 Raz 的单向通信复杂度下限（至多 polylog 因子）相匹配，为子空间中向量问题提供了计算高效的协议。