[论文解读] A computation of D(9) using FPGA Supercomputing

Lennart Van Hirtum, Patrick De Causmaecker+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 7

一句话总结

本论文通过在Noctua 2超算集群上使用自定义FPGA加速器，首次计算出第9个戴德金数，D(9) = 286386577668298411128469151667598498812366。该方法利用等价类降低计算复杂度，并采用并行化FPGA处理结合错误检测机制以确保正确性，经多重一致性检查及后续独立预印本确认验证。

ABSTRACT

This preprint makes the claim of having computed the $9^{th}$ Dedekind Number. This was done by building an efficient FPGA Accelerator for the core operation of the process, and parallelizing it on the Noctua 2 Supercluster at Paderborn University. The resulting value is 286386577668298411128469151667598498812366. This value can be verified in two steps. We have made the data file containing the 490M results available, each of which can be verified separately on CPU, and the whole file sums to our proposed value.

研究动机与目标

• 计算第9个戴德金数D(9)，由于其双指数复杂度，该数仍是目前已知最大的戴德金数。
• 通过单调布尔函数的等价类实现对称性约简，克服暴力枚举的计算不可行性。
• 设计并部署用于核心PCoeff计算的高性能FPGA加速器，实现在超算集群上的可扩展并行化。
• 通过模块化算术检查、数据完整性监控及与CPU结果的交叉验证等多层验证机制，确保计算正确性。
• 提供可验证的开源实现与数据集，支持对结果的独立验证。

提出的方法

• 计算采用重制的PCoeff公式，通过在等价类R(n)上聚合，将项数从D(n)减少至R(n)，显著提升效率。
• 系统将4.9亿个顶层反链(α)拆分为15,000个任务，通过PCIe数据传输在FPGA上并行处理。
• 对每个α，FPGA计算每个底边(β)的所有5040种排列(γ)，计算连接数Cα,γ，并对所有排列求和2^Cα,γ以计算PCoeff。
• FPGA内核针对128位和192位整数算术进行优化，并通过“有效排列计数”机制实现自定义错误检测，以识别PCIe数据损坏。
• 系统包含校验和机制：将全部4.9亿个中间结果相加，可得到D(8)，与已知值一致，从而确认数据完整性。
• 启动第二轮独立计算，对结果进行双重检查，并在出现差异时通过仲裁机制缓解单粒子翻转(SEU)导致的位翻转风险。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过FPGA加速并行化，在可行的时间和内存限制内计算出第9个戴德金数？
• RQ2 如何有效应用等价类R(n)对称性约简于PCoeff公式，以降低计算复杂度？
• RQ3 大规模FPGA超算中的主要错误来源是什么？如何检测并缓解这些错误？
• RQ4 自定义FPGA加速器能否在存在硬件级位翻转和PCIe传输错误的情况下，实现足够吞吐量与准确性，以可靠计算D(9)？
• RQ5 如何实现对如此大规模计算的独立且透明的正确性验证？

主要发现

• 第9个戴德金数计算结果为D(9) = 286386577668298411128469151667598498812366，由4.9亿个中间结果之和确认，并经多重一致性检查验证。
• 基于FPGA的计算实现了每块FPGA每秒约150万次PCoeff评估的峰值吞吐量，使4.9亿个α值在约47,000个FPGA小时内完成处理。
• 此前未知的PCIe库错误导致约2,300个任务的数据损坏，通过“有效排列计数”验证机制检测，并借助冗余检查修正。
• 结果通过模210校验D(9) ≡ 6 mod 210，确认128/192位整数算术过程中未发生整数溢出。
• 科什诺夫估计公式预测D(9) ≈ 1.15×10^41，与实际值相差不足2倍，表明计算结果处于预期范围内。
• 2023年4月4日发布的独立预印本确认了相同结果，验证了计算的正确性。