[论文解读] A computational framework for infinite-dimensional Bayesian inverse problems. Part I: The linearized case, with application to global seismic inversion

Tan Bui–Thanh, Omar Ghattas+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 28被引用 24

一句话总结

本文提出了一种可扩展的计算框架，用于使用函数空间感知的离散化和后验协方差的低秩近似，求解无限维贝叶斯反问题。该框架在高达 430,000 个参数的高维地震反问题中实现了不确定性量化，通过高效的采样和矩阵自由运算，实现了 2–3 个数量级的维数降低。

ABSTRACT

We present a computational framework for estimating the uncertainty in the numerical solution of linearized infinite-dimensional statistical inverse problems. We adopt the Bayesian inference formulation: given observational data and their uncertainty, the governing forward problem and its uncertainty, and a prior probability distribution describing uncertainty in the parameter field, find the posterior probability distribution over the parameter field. The prior must be chosen appropriately in order to guarantee well-posedness of the infinite-dimensional inverse problem and facilitate computation of the posterior. Furthermore, straightforward discretizations may not lead to convergent approximations of the infinite-dimensional problem. And finally, solution of the discretized inverse problem via explicit construction of the covariance matrix is prohibitive due to the need to solve the forward problem as many times as there are parameters. Our computational framework builds on the infinite-dimensional formulation proposed by Stuart (A. M. Stuart, Inverse problems: A Bayesian perspective, Acta Numerica, 19 (2010), pp. 451-559), and incorporates a number of components aimed at ensuring a convergent discretization of the underlying infinite-dimensional inverse problem. The framework additionally incorporates algorithms for manipulating the prior, constructing a low rank approximation of the data-informed component of the posterior covariance operator, and exploring the posterior that together ensure scalability of the entire framework to very high parameter dimensions. We demonstrate this computational framework on the Bayesian solution of an inverse problem in 3D global seismic wave propagation with hundreds of thousands of parameters.

研究动机与目标

• 解决具有无限维参数场的大规模反问题中的不确定性量化挑战。
• 通过基于椭圆PDE的高斯随机场先验，确保离散化反问题的适定性和收敛性。
• 开发可扩展算法，避免显式构建高维后验协方差矩阵。
• 实现在具有数十万个参数的三维全球地震波传播中的实际不确定性量化。
• 提供一种计算框架，支持高效的后验采样和后验协方差算子的低秩近似。

提出的方法

• 在无限维函数空间中通过由椭圆PDE算子逆定义协方差的高斯先验来表述反问题。
• 实施函数空间感知的有限元离散化，以确保向无限维解的收敛性。
• 使用随机SVD和快照方法，对后验协方差的数据信息成分构建低秩近似。
• 采用矩阵自由方法，避免显式构造大型协方差矩阵，转而依赖前向和伴随PDE求解。
• 通过后验精度的谱分解推导后验协方差的平方根分解，实现高效采样。
• 采用随机算法计算后验样本：$\boldsymbol{\nu}^{\text{post}} = \boldsymbol{m}_{\text{MAP}} + \boldsymbol{L}\boldsymbol{n}$，其中 $\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^\top = \boldsymbol{\Gamma}_{\text{post}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保证收敛到真实解的方式对无限维贝叶斯反问题进行离散化？
• RQ2 何种先验分布可确保在具有高维参数的无限维反问题中实现适定性和光滑性？
• RQ3 如何在不显式构造或存储大型矩阵的情况下，高效近似后验协方差算子？
• RQ4 何种计算框架可实现具有数十万个参数的三维全球地震波传播中可扩展的不确定性量化？
• RQ5 低秩近似和矩阵自由方法能否将后验采样的计算成本降低多个数量级？

主要发现

• 所提出的框架通过后验协方差的低秩近似，实现了有效参数维度 2–3 个数量级的降低。
• 函数空间感知的离散化确保了有限维近似向真实无限维反问题的收敛性。
• 基于椭圆PDE逆的高斯先验确保了参数样本几乎必然连续，并使反问题适定。
• 矩阵自由采样方法避免了显式构造完整后验协方差矩阵，从而实现了高达 430,000 个参数问题的可扩展性。
• 该框架成功实现了在三维全球地震波传播反问题中的贝叶斯不确定性量化，该问题此前因维度过高而难以求解。
• 理论和数值结果证实，后验协方差的低秩近似具有高精度且计算高效。