[论文解读] A condition for scattered linearized polynomials involving Dickson matrices

Corrado Zanella|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 27

一句话总结

本文引入了一种基于Dickson矩阵的新条件，用于判断有限域上线性化多项式是否为散射型，这是射影几何与编码理论中的关键性质。作者将该准则应用于两个二项式：证明当范数 $N_{q^n/q}(ar{δ}) = 1$ 时，Lunardon-Polverino 二项式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ 永远不是散射型；并通过平面代数曲线建立了 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ 为散射型的充要条件。结果解决了此类多项式稀少的问题，表明当 $n \geq 5$ 时，$x^q + b x^{q^2}$ 永远不是散射型。

ABSTRACT

A linearized polynomial over $\mathbb F_{q^n}$ is called scattered when for any $t,x\in\mathbb F_{q^n}$, the condition $xf(t)-tf(x)=0$ holds if and only if $x$ and $t$ are $\mathbb F_q$-linearly dependent. General conditions for linearized polynomials over $\mathbb F_{q^n}$ to be scattered can be deduced from the recent results in [4,7,15,19]. Some of them are based on the Dickson matrix associated with a linearized polynomial. Here a new condition involving Dickson matrices is stated. This condition is then applied to the Lunardon-Polverino binomial $x^{q^s}+\delta x^{q^{n-s}}$, allowing to prove that for any $n$ and $s$, if $\mathbb N_{q^n/q}(\delta)=1$, then the binomial is not scattered. Also, a necessary and sufficient condition for $x^{q^s}+bx^{q^{2s}}$ to be scattered is shown which is stated in terms of a special plane algebraic curve.

研究动机与目标

• 基于Dickson矩阵开发一种新的代数条件，以确定 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上线性化多项式何时为散射型。
• 解决关于Lunardon-Polverino二项式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ 在 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ 时是否可能为散射型的开放问题。
• 为二项式 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ 提供一个充要条件，以平面代数曲线的形式表达其散射性。
• 证明当 $n \geq 5$ 时，$x^q + b x^{q^2}$ 永远不是散射型，从而确认此类多项式的稀少性。

提出的方法

• 引入与线性化多项式 $f(x) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^{\sigma^i}$ 相关的广义 $\sigma$-矩阵，其中 $\sigma = q^s$，$\gcd(s,n) = 1$，且 $\sigma$ 是 $q$ 的幂。
• 定义一个新多项式 $g(t) = -f(x)t + f(xt)$，并将其与 $\sigma$-矩阵 $M_{\sigma,g}$ 关联，该矩阵捕捉了 $xf(t) - t f(x)$ 的核结构。
• 建立 $f(x)$ 为散射型当且仅当对所有 $x \in \mathbb{F}_{q^n}^*$，$M_{\sigma,g}$ 的 $(n-1) \times (n-1)$ 子式均为非奇异。
• 利用Laplace展开及迹与范数的性质，将散射性条件简化为一个关于 $\sum_{i=0}^{n-1} z^{(\sigma^i - 1)/(\sigma - 1)} = 0$ 的单个方程，其中 $z = \delta x^{q^n - 2q^s}$。
• 将该条件应用于Lunardon-Polverino二项式，代入 $z = \delta x^{q^n - 2q^s}$ 并分析范数条件 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$，表明其蕴含该求和方程存在解。
• 对于 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$，推导出一个涉及平面曲线 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ 上存在点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{F}_{q^n}^{*2}$ 且 $\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ 的存在性的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ 时，Lunardon-Polverino二项式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ 是否为散射型？
• RQ2 在 $\gcd(s,n) = 1$ 的条件下，$x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ 为散射型的充要条件是什么？
• RQ3 当 $n \geq 5$ 时，多项式 $x^q + b x^{q^2}$ 是否可能为散射型？
• RQ4 Dickson矩阵的结构如何与线性化多项式的散射性相关？

主要发现

• 当 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ 时，Lunardon-Polverino二项式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ 不是散射型，解决了长期存在的问题。
• 当 $n = 5$ 时，对所有 $b \in \mathbb{F}_{q^5}^*$，多项式 $x^q + b x^{q^2}$ 均非散射型，确认了该情形下其不存在。
• $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ 为散射型当且仅当代数曲线 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ 上不存在满足 $x_0, y_0 \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ 且 $\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ 的点 $(x_0, y_0)$，从而提供了几何表征。
• $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ 是Lunardon-Polverino二项式不具散射性的必要条件，推广了此前对 $n=4$、$s=1$ 及奇 $n$ 的结果。
• 基于 $(n-1)$ 阶子式的新条件提供了一种单一方程检验方法，用于判断非散射性，相较于检查两个行列式方程更为高效。
• 当 $n \geq 5$ 时，所有形如 $x^q + b x^{q^2}$ 且 $b \neq 0$ 的多项式均非散射型，该结论通过结合曲线条件与近期关于迹方程解存在的结果得以证明。