[论文解读] A conditional limit theorem for random walks under extreme deviation

Michel Broniatowski, Zhansheng Cao|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在轻尾且具正则性的假设下，建立了独立同分布随机游走的极端偏差条件极限定理，表明当 $ S_n/n = a_n $ 且 $ a_n \to \infty $ 时，给定条件下的 $ X_1 $ 的分布以变差范数收敛于参数为 $ a_n $ 的倾斜分布。该结果将经典的吉布斯条件化原理推广至极端偏差情形，通过二阶展开提供了条件密度的局部逼近。

ABSTRACT

This paper explores a conditional Gibbs theorem for a random walkinduced by i.i.d. (X_{1},..,X_{n}) conditioned on an extreme deviation of its sum (S_{1}^{n}=na_{n}) or (S_{1}^{n}>na_{n}) where a_{n} ightarrow\infty. It is proved that when the summands have light tails with some additional regulatity property, then the asymptotic conditional distribution of X_{1} can be approximated in variation norm by the tilted distribution at point a_{n}, extending therefore the classical LDP case.

研究动机与目标

• 研究当 $ S_n/n = a_n $ 且 $ a_n \to \infty $ 时，给定和的极端偏差下 $ X_1 $ 的条件分布的渐近行为。
• 将适用于常数 $ a > \mathbb{E}[X_1] $ 的经典吉布斯条件化原理，推广至 $ a_n $ 递增的情形。
• 在轻尾与正则性条件下，建立条件分布与 $ a_n $ 处倾斜分布之间在总变差范数下的收敛性。
• 利用二阶埃奇沃斯型展开，提供条件密度的局部逼近。

提出的方法

• 使用局部条件化原理，对独立同分布序列 $ (X_1, \dots, X_n) $ 在事件 $ S_n/n = a_n $（其中 $ a_n \to \infty $）上进行条件化。
• 采用参数为 $ t $ 的倾斜分布 $ \pi^a $，使得 $ m(t) = a $，其中 $ m(t) = \frac{d}{dt} \log \Phi(t) $，且 $ \Phi(t) $ 为矩生成函数。
• 应用正则变函数与拉普拉斯方法的渐近分析技术，近似似然函数在众数附近的条件密度。
• 通过三阶矩 $ \mu_3(t) $ 与方差 $ s^2(t) $ 推导条件密度的二阶展开，证明高阶项在极限下趋于零。
• 通过有界真实条件密度与倾斜密度之间的 $ L^1 $-距离，建立变差范数下的收敛性。
• 利用正则变异性理论分析密度尾部 $ p(x) \sim x^{-\beta}L(x) $（$ \beta > 1 $）的行为，研究当 $ t \to \infty $ 时 $ \mu_3(t) $ 与 $ s^2(t) $ 的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ a_n \to \infty $ 时，给定 $ S_n/n = a_n $ 的 $ X_1 $ 的条件分布是否收敛于 $ a_n $ 处的倾斜分布？
• RQ2 与经典大偏差原理相比，极端偏差下变差范数的收敛速率有何表现？
• RQ3 在极端偏差情形下，二阶埃奇沃斯型校正是否能改善条件密度的逼近效果？
• RQ4 底层分布的正则性与尾部行为（如正则变尾）在条件分布收敛性中起何种作用？
• RQ5 在何种条件下，三阶矩 $ \mu_3(t) $ 相对于方差可忽略，从而保证倾斜逼近的有效性？

主要发现

• 在轻尾与正则性条件下，当 $ n \to \infty $ 时，给定 $ S_n/n = a_n $ 的 $ X_1 $ 的条件分布以总变差范数收敛于倾斜分布 $ \pi^{a_n} $。
• 对于 $ h \in R_\beta $ 且 $ \beta > 1 $，有 $ \mu_3(t) \sim \frac{M_6 - 3}{2} \psi''(t) $，且 $ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $，表明高阶项趋于零。
• 对于 $ h \in R_\infty $，在条件 $ \psi(t)\epsilon(t)/t \to 0 $ 下，有 $ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $，确保高斯逼近的有效性。
• 方差满足 $ s^2(t) \sim \psi'(t) $，累积量生成函数的二阶导数满足 $ h''(\hat{x}) \sim \beta(\beta-1)\psi(t)^{\beta-2}l_0(\psi(t)) $，控制似然函数的曲率。
• 条件密度与倾斜密度之间的 $ L^1 $-距离趋于零，证实了变差范数下的收敛性。
• 该结果将吉布斯原理从常数偏差推广至发散的 $ a_n $ 情形，表明在极端偏差下所有和项 $ X_i $ 集中于 $ a_n $ 附近，且条件分布可由 $ \pi^{a_n} $ 近似。