[论文解读] A Conditional Quasi-greedy Basis of l_1

S. J. Dilworth, David Mitra|ArXiv.org|Aug 15, 2000

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 4

一句话总结

该论文利用Lindenstrauss的单调基列构造了$\ell_1$的一个条件性准贪婪基，证明了$\ell_1$存在一个非等价的归一化基，该基是准贪婪的但具有条件性。主要贡献在于证明了此类基的存在性，解决了Wojtaszczyk提出的问题，同时表明其对应的系数泛函不具有准贪婪性。

ABSTRACT

We show that the Lindenstrauss basic sequence in l_1 may be used to construct a conditional quasi-greedy basis of l_1, thus answering a question of Wojtaszczyk. We further show that the sequence of coefficient functionals for this basis is not quasi-greedy.

研究动机与目标

• 为解决Wojtaszczyk关于$\ell_1$中条件性准贪婪基存在的开放问题。
• 证明$\ell_1$不存在唯一归一化基（在等价意义下），该基对常数系数是无条件的。
• 分析所构造基对应的系数泛函的准贪婪性质。
• 建立该新基的系数泛函不具备准贪婪性，尽管该基本身是准贪婪的。

提出的方法

• 利用$\ell_1$中Lindenstrauss的单调、条件性基列$\{x_i\}_{i=1}^\infty$，其定义为$x_i = e_i - \frac{1}{2}(e_{2i+1} + e_{2i+2})$。
• 采用从$y_i^* \in \ell_\infty$导出的系数泛函$x_i^*$，通过递归序列$\alpha_i$构造，其中$y_i^* = \sum_{j=1}^{|\alpha_i|} (1/2)^{j-1} e_{\alpha_i(j)}$。
• 在集合$B_0, B_1, \dots, B_k$上应用递归归纳过程，以分解向量$x$的范数并分析贪婪算子的作用。
• 利用三角不等式和不相交支集的论证，推导出关键不等式$\|x+y\| \geq \|P_{B_0}x\| + \|P_{C_0}x\| + \frac{1}{2}\|P_{A_0}x\|$。
• 通过分析部分和$\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} \epsilon_i x_i^*$并比较$\|\sum x_i^*\|$与$\|\sum (-1)^i x_i^*\|$，建立准贪婪的有界性。
• 通过证明$\|\sum x_i^*\| \geq n/2$而$\|\sum (-1)^i x_i^*\| \leq 1$，表明$\{x_i^*\rangle$不满足准贪婪性，从而与一致有界性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\ell_1$是否允许存在一个条件性准贪婪基？
• RQ2 尽管$\ell_1$在无条件基方面具有强唯一性性质，是否仍可能存在一个在$\ell_1$中条件性但准贪婪的基？
• RQ3 在$\ell_1$中，一个准贪婪基的系数泛函是否必然也是准贪婪的？
• RQ4 基的准贪婪性质与其系数泛函的准贪婪性质之间存在何种关系？

主要发现

• 已构造出$\ell_1$的一个条件性准贪婪基，其基于Lindenstrauss的基列。
• 该基是准贪婪的，因为贪婪算子$\mathcal{G}_m$满足$\|\mathcal{G}_m(x)\| \leq C\|x\|$的一致有界性。
• 系数泛函$\{x_i^*\}_{i=1}^\infty$不具备准贪婪性，这由范数比$\|\sum x_i^*\| / \|\sum (-1)^i x_i^*\| \to \infty$所证明。
• 具体而言，$\|\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} x_i^*\| \geq n/2$，而$\|\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} (-1)^i x_i^*\| \leq 1$，违反了准贪婪条件。
• 该构造表明$\ell_1$存在一个归一化基，其为准贪婪但不与标准基等价，从而说明在等价意义下不唯一。
• 在集合$B_0, B_1, \dots, B_k$上采用递归分解的方法，可有效控制范数估计，并证明关键不等式$\|x+y\| \geq \|P_{B_0}x\| + \|P_{C_0}x\| + \frac{1}{2}\|P_{A_0}x\|$。