[论文解读] A conforming discontinuous Galerkin finite element method

Xiu Ye, Shangyou Zhang|ArXiv.org|Apr 6, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 22

一句话总结

本文提出了一种新颖的符合性不连续伽辽金（conforming DG）有限元方法，结合了符合性有限元格式的简洁性与不连续近似的灵活性。通过在对称、正定的变分格式中用弱梯度替代经典梯度，该方法在多项式次数 $k \geq 1$ 时，于离散 $H^1$ 范数下达到最优收敛率 $O(h^k)$，于 $L^2$ 范数下达到 $O(h^{k+1})$，数值结果验证了从 $k=1$ 到 $5$ 的理论预测。该方法简化了实现过程，同时保持了对边界条件的强约束和最优精度。

ABSTRACT

A new finite element method with discontinuous approximation is introduced for solving second order elliptic problem. Since this method combines the features of both conforming finite element method and discontinuous Galerkin (DG) method, we call it conforming DG method. While using DG finite element space, this conforming DG method maintains the features of the conforming finite element method such as simple formulation and strong enforcement of boundary condition. Therefore, this finite element method has the flexibility of using discontinuous approximation and simplicity in formulation of the conforming finite element method. Error estimates of optimal order are established for the corresponding discontinuous finite element approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

研究动机与目标

• 开发一种有限元方法，保留符合性有限元格式的简洁性，同时允许不连续近似。
• 通过避免复杂的数值通量和罚项，简化不连续伽辽金方法的格式。
• 通过采用对称、正定系统，实现在离散 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优收敛率。
• 通过弱伽辽金框架实现简便实现，强约束狄利克雷边界条件。
• 针对多项式次数 $k=1$ 到 $5$ 的情形，通过数值实验验证理论收敛率。

提出的方法

• 该方法使用在三角剖分区域 $\Omega$ 上的不连续伽辽金有限元空间 $V_h$，其中包含次数 $k \geq 1$ 的分片多项式。
• 它用弱梯度 $\nabla_w u_h$ 替代经典梯度 $\nabla u_h$，后者通过每个单元上的局部 $L^2$-投影定义。
• 变分格式为 $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v_h) = (f, v_h) $，对所有 $v_h \in V_h^0$ 成立，且满足 $u_h = I_h g$ 在 $\partial\Omega$ 上。
• 弱梯度在局部计算，确保计算效率，并实现对称、正定的系统矩阵。
• 通过狄利克雷数据 $g$ 的插值 $I_h g$ 强制实施边界条件。
• 该方法继承了符合性有限元的简洁性，同时通过不连续近似获得了 DG 方法的灵活性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一种不连续伽辽金方法，使其具备符合性有限元方法的简洁性，同时保持最优收敛率？
• RQ2 使用弱梯度是否可消除 DG 格式中对罚项和数值通量的需求？
• RQ3 所得到的系统是否在保持最优收敛率的同时仍为对称且正定？
• RQ4 该方法是否可在不引入额外自由度或稳定化项的情况下保持对边界条件的强约束？
• RQ5 数值实验是否验证了从 $k=1$ 到 $5$ 的理论收敛阶？

主要发现

• 根据定理 6，该方法在 $k \geq 1$ 时于离散 $H^1$ 范数下实现 $O(h^k)$ 的最优收敛率。
• 在对偶问题具有 $H^2$ 正则性的条件下，$L^2$ 误差的最优收敛率为 $O(h^{k+1})$，如定理 7 所示。
• 针对 $k=1$ 到 $5$ 的数值结果表明，收敛率与理论预测一致：$L^2$ 范数下约为 $2k$，离散 $H^1$ 范数下为 $k$。
• 对于 $P_1$ 单元，$L^2$ 误差率约为 2.09，随网格加密趋近于 2.00。
• 对于 $P_5$ 单元，$L^2$ 误差率达到 6.00，证实了预测的 $O(h^6)$ 收敛率。
• 该方法生成对称、正定的系统矩阵，相较于标准 IPDG 方法，简化了求解过程。