[论文解读] A Congruence-based Perspective on Automata Minimization Algorithms

Pierre Ganty, Elena Gutiérrez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于一致性关系的框架，通过分析词语上的等价关系，统一并重新诠释了经典的自动机最小化算法——如Hopcroft、Moore和Brzozowski的双重反转法。该框架表明，通过状态划分细化实现的最小化与通过双重反转实现的确定化，是同一基本原理的对偶实例：即从右一致关系或左一致关系构造自动机。其核心贡献是确立了确定化生成最小DFA的充要条件，从而通过Nerode等价关系及右一致关系与左一致关系之间的对偶性，将这些原本看似不同的方法统一起来。

ABSTRACT

In this work we use a framework of finite-state automata constructions based on equivalences over words to provide new insights on the relation between well-known methods for computing the minimal deterministic automaton of a language.

研究动机与目标

• 在统一的理论框架下整合看似不同的自动机最小化算法——如Hopcroft、Moore和Brzozowski的方法。
• 阐明状态划分细化（如Moore和Hopcroft算法）与双重反转方法之间的概念性关系。
• 形式化语言基础与自动机构造的一致关系在词语上的联系及其诱导的自动机构造。
• 基于一致关系理论，建立确定化生成最小DFA的充要条件。
• 将Brzozowski和Tamm提出的原子自动机与部分原子自动机构造，与所提出的基于一致关系的自动机构造联系起来。

提出的方法

• 定义与连接兼容的右一致关系和左一致关系，其在Σ*上诱导出有限划分。
• 从这些一致关系构造自动机：基于语言的一致关系生成最小确定或共确定自动机；基于自动机的一致关系生成输入NFA的确定化或共确定化版本。
• 利用右一致关系与左一致关系之间的对偶性，关联最小化与确定化操作。
• 提出一个充要条件（定理16），用于确定化生成最小DFA，其依据是自动机在反转后为共确定。
• 利用该框架重新推导并重新诠释Brzozowski的双重反转法及其由Brzozowski和Tamm推广的形式。
• 建立原子自动机/部分原子自动机与由Detℓ和Minℓ操作导出的构造之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于词语一致关系，将经典自动机最小化算法统一于单一理论框架之下？
• RQ2 在何种精确条件下，对共确定NFA进行确定化可生成最小DFA？
• RQ3 语言基础一致关系与自动机构造一致关系之间，以及它们与Nerode等价之间的关系为何？
• RQ4 双重反转法与Moore和Hopcroft等状态划分细化算法之间有何联系？
• RQ5 原子自动机与部分原子自动机构造与所提出的基于一致关系的自动机构造之间有何关联？

主要发现

• 本文确立了确定化生成最小DFA的充要条件（定理16）：输入NFA在反转后必须为共确定。
• 双重反转法被证明是该通用框架的一个特例，即对共确定NFA进行确定化可生成最小DFA。
• Moore和Hopcroft的算法被解释为对词语上右Nerode划分的迭代细化，其中Moore算法对应于最大不动点迭代。
• 语言L的原子自动机构造同构于Detℓ(N_DM)与Minℓ(L)，其中N_DM是L的最小DFA。
• NFA N的部分原子自动机构造同构于Detℓ(N)，建立了Brzozowski和Tamm的构造与所提框架之间的直接联系。
• 右一致关系与左一致关系之间的对偶性解释了最小化与确定化之间的对称性，并将双重反转法与划分细化方法统一起来。