[论文解读] A Conic Integer Programming Approach to Constrained Assortment Optimization under the Mixed Multinomial Logit Model

Alper Şen, Alper Atamtürk+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

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一句话总结

本文提出了一种用于在混合多项式对数（MMNL）模型下进行受限组合优化的圆锥二次混合整数规划公式，相较于传统的MILP方法，显著提升了求解效率。通过整合基于容量约束条件边界的McCormick不等式，该方法使商业求解器能够最优求解大规模实例，平均求解时间低于30秒，且在95%的测试实例中最优性差距降至0.00%。

ABSTRACT

We consider the constrained assortment optimization problem under the mixed multinomial logit model. Even moderately sized instances of this problem are challenging to solve directly using standard mixed-integer linear optimization formulations. This has motivated recent research exploring customized optimization strategies and approximation techniques. In contrast, we develop a novel conic quadratic mixed-integer formulation. This new formulation, together with McCormick inequalities exploiting the capacity constraints, enables the solution of large instances using commercial optimization software.

研究动机与目标

• 为解决在混合多项式对数（MMNL）模型下受限组合优化的计算不可行性问题，该问题为NP难问题，且对标准MILP公式不友好。
• 开发一种更有效的优化框架，使商业求解器能够直接求解大规模实例，避免使用定制启发式算法或自定义求解算法。
• 通过利用容量和子集基数约束的条件边界推导出的McCormick不等式，强化公式，提升松弛紧致性。
• 证明圆锥混合整数规划在该类问题中可优于传统MILP公式，无论在求解质量还是计算速度方面。
• 为复杂客户选择模型下的现实世界组合规划提供可扩展、可商业部署的解决方案。

提出的方法

• 将MMNL组合优化问题建模为圆锥二次混合整数规划，利用二阶锥约束来刻画概率性选择行为。
• 引入McCormick不等式，通过利用从容量和子集基数约束中导出的条件边界，收紧松弛。
• 通过分别对容量和子集约束的线性松弛应用贪心算法，计算McCormick不等式的下界，确保计算效率。
• 采用两阶段方法：首先分别求解容量和子集基数约束下的松弛问题，然后取各变量的最小值作为下界。
• 在商业优化软件中实现该公式，使大规模实例可直接求解，无需自定义代码或启发式算法开发。
• 在最多包含100个产品和广义容量约束的实例上验证该方法，比较MILP、MILP+MC、CONIC和CONIC+MC公式的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 圆锥二次混合整数规划公式是否能在MMNL模型下受限组合优化问题中优于标准MILP公式？
• RQ2 从条件边界导出的McCormick不等式在多大程度上改善了松弛质量与求解速度？
• RQ3 商业优化软件是否能够在无需定制启发式或算法的情况下，对大规模MMNL组合优化问题实现最优求解？
• RQ4 在广义容量约束下（包括总容量和子集基数限制），所提公式的性能表现如何？
• RQ5 将圆锥公式与McCormick紧致化结合后，对最优性差距和计算时间的影响是什么？

主要发现

• CONIC+MC公式在50个测试实例上的平均求解时间为26.13秒，其中95%的实例达到最优解（0.00%最优性差距）。
• 平均而言，CONIC+MC公式在分支定界树中仅需383个节点，远少于MILP公式所需的41,385个节点。
• 对于包含100个产品和40个容量单位的实例，CONIC+MC公式在平均1.8秒内求解全部五个实例至最优，最优性差距为0.00%。
• 采用基于贪心算法的McCormick不等式下界计算，将边界计算时间降至可忽略水平，同时保持了紧致的松弛质量。
• CONIC+MC公式在50个实例中全部求解至最优，而次优的MILP+MC公式仅能求解20个实例。
• CONIC+MC公式的平均相对差距为0.12%，而基线MILP公式的平均相对差距为12.73%，表明其具有更强的松弛紧致性。