[论文解读] A Constant Factor Approximation Algorithm for Unsplittable Flow on Paths

Paul Bonsma, Jens Schulz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Optimization and Search Problems参考文献 25被引用 1

一句话总结

本文提出首个针对路径上的无分割流问题（UFPP）的多项式时间常数比近似算法，对任意 ε > 0 实现了 7 + ε 的近似比。该方法结合了新颖的容量缩减框架与一种几何启发的动态规划算法，用于处理大任务，对最大权独立矩形集问题的一个特例实现了最优解，并在资源增强条件下扩展为 (2 + ε)-近似算法。

ABSTRACT

In the unsplittable flow problem on a path, we are given a capacitated path $P$ and $n$ tasks, each task having a demand, a profit, and start and end vertices. The goal is to compute a maximum profit set of tasks, such that for each edge $e$ of $P$, the total demand of selected tasks that use $e$ does not exceed the capacity of $e$. This is a well-studied problem that has been studied under alternative names, such as resource allocation, bandwidth allocation, resource constrained scheduling, temporal knapsack and interval packing. We present a polynomial time constant-factor approximation algorithm for this problem. This improves on the previous best known approximation ratio of $O(\log n)$. The approximation ratio of our algorithm is $7+ε$ for any $ε>0$. We introduce several novel algorithmic techniques, which might be of independent interest: a framework which reduces the problem to instances with a bounded range of capacities, and a new geometrically inspired dynamic program which solves a special case of the maximum weight independent set of rectangles problem to optimality. In the setting of resource augmentation, wherein the capacities can be slightly violated, we give a $(2+ε)$-approximation algorithm. In addition, we show that the problem is strongly NP-hard even if all edge capacities are equal and all demands are either~1,~2, or~3.

研究动机与目标

• 开发一种针对路径上无分割流问题（UFPP）的多项式时间常数比近似算法，此前该问题仅能实现 O(log n) 的近似比。
• 克服先前技术（尤其是动态规划与线性规划松弛）的局限性，这些方法依赖于无瓶颈假设（NBA），在一般情况下失效。
• 证明即使所有需求均属于 {1, 2, 3} 且所有边容量相等，UFPP 仍为强 NP-难问题。
• 探讨常数比近似算法是否适用于 UFPP 的推广形式，如在树结构上或在资源增强条件下。

提出的方法

• 提出一种将一般 UFPP 实例缩减为边容量范围有界的实例的框架，从而实现高效的算法处理。
• 设计一种几何启发的动态规划算法，对最大权独立矩形集问题的一个特例实现最优解，用于处理大任务。
• 对小任务使用 (α, β)-近似算法，并将其整合进统一的近似框架中。
• 应用资源增强技术，实现 (2 + ε)-近似，允许对边容量做轻微违反。
• 通过具有有界整数参数的多项式时间变换，将 3-正则图上的最大独立集问题归约至 UFPP。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖无瓶颈假设的前提下，为一般路径上的无分割流问题设计常数比近似算法？
• RQ2 当需求被限制在 {1, 2, 3} 且所有容量相等时，路径上的无分割流问题是否为强 NP-难问题？
• RQ3 在一般情况下，自然线性规划松弛的整数性间隙是否可被常数有界？抑或其为 Ω(n)？
• RQ4 资源增强是否能实现更优的近似比，例如 (2 + ε)？
• RQ5 为 UFPP 开发的技术能否推广至其他几何装箱或调度问题？

主要发现

• 本文提出一种针对 UFPP 的多项式时间 (7 + ε)-近似算法，优于此前已知的 O(log n) 近似比。
• 作者证明了即使所有需求均属于 {1, 2, 3} 且所有边容量相等，UFPP 仍为强 NP-完全问题。
• 提出一种新型几何动态规划算法，可最优求解最大权独立矩形集问题的一个特例，这对处理大任务至关重要。
• 在资源增强条件下，实现了 (2 + ε)-近似算法，与无瓶颈假设情况下的最佳已知比一致。
• 证明了在无 NBA 条件下，UFPP 的自然线性规划松弛的整数性间隙为 Ω(n)，解释了先前基于 LP 的方法在一般情况下的失败原因。
• 通过从 3-正则图上的最大独立集问题到 UFPP 的归约，仅使用多项式有界参数，确立了强 NP-难性。