[论文解读] A Construction of Binary Linear Codes from Boolean Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文综述了利用特定通用构造从布尔函数构建二元线性码的最新进展，重点研究最多具有五种权重的码。文章提出了基于差集和o-多项式的新型构造方法，并针对这些码的参数和权重分布提出了11个开放猜想，特别是针对从GF(2^m)上特定多项式形式导出的一类权重码和四类权重码。

ABSTRACT

Boolean functions have important applications in cryptography and coding theory. Two famous classes of binary codes derived from Boolean functions are the Reed-Muller codes and Kerdock codes. In the past two decades, a lot of progress on the study of applications of Boolean functions in coding theory has been made. Two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions have been well investigated in the literature. The objective of this paper is twofold. The first is to provide a survey on recent results, and the other is to propose open problems on one of the two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions. These open problems are expected to stimulate further research on binary linear codes from Boolean functions.

研究动机与目标

• 综述使用第二种通用构造从布尔函数构建二元线性码的最新进展。
• 识别并呈现与这些码的结构和参数相关的开放问题，特别是关于差集和o-多项式的相关问题。
• 通过提出关于特定差集存在性及关联二元码权重分布的11个猜想，激发进一步研究。
• 探索布尔函数、o-多项式与所得线性码之间参数最优或近似最优的联系。
• 通过代数与组合构造方法，扩展已知的少权重二元码家族，包括单权重、双权重、三权重、四权重和五权重码。

提出的方法

• 通过布尔函数的支撑集构造二元线性码，定义为 $ D_f = \{x \in \mathrm{GF}(2^m) : f(x) = 1\} $，并将码 $ \mathcal{C}_{D_f} $ 定义为 $ D_f $ 的特征向量张成的空间。
• 利用加法特征和沃尔什变换，通过公式 $ \hat{f}(w) = \sum_{x \in \mathrm{GF}(2^m)} (-1)^{f(x) + \mathrm{Tr}(wx)} $ 分析码的权重分布。
• 应用 $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ 中差集的理论，构造具有特定参数的码，特别关注参数为 $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $ 的Singer型差集。
• 引入基于o-多项式和 $ e $-对-1 多项式的构造方法，如 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $，以生成具有受控权重分布的码。
• 使用补集构造 $ \overline{\mathcal{C}} = \mathcal{C} \cup \{ \mathbf{c} + \mathbf{1} \} $ 扩展码，推导出维度更高且权重分布已知的新码。
• 借助Magma的计算验证，确认对于足够大的 $ m $，所提猜想成立，支持所提议码参数和权重分布的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些布尔函数 $ f $，码 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 具有特定的权重分布，例如单权重码或四权重码？
• RQ2 在何种条件下，集合 $ D(f)^* $ 是 $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ 中的差集，且具有Singer参数？
• RQ3 从o-多项式和特定多项式形式构造的码 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ 的确切参数和权重分布是什么？
• RQ4 是否可以在不证明 $ D(f) $ 的差集性质的前提下，确定 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 的权重分布，如Conjecture 41所猜想的那样？
• RQ5 基于 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ 及类似形式的构造，如何生成具有最优或近似最优参数的码？

主要发现

• 从参数为 $ [2^{m-1}, m] $ 且权重分布如表11所示的码构造的码 $ \overline{\mathcal{C}} $，其参数为 $ [2^{m-1}, m+1] $，权重分布见表13。
• 当 $ m = 5 $ 时，码 $ \overline{\mathcal{C}} $ 的参数为 $ [16, 6, 6] $，为最优码；当 $ m = 7 $ 时，其参数为 $ [64, 8, 28] $，几乎最优。
• Conjecture 39 提出，对于 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $，码 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 的参数为 $ [2^{m-1}, m, 2^{m-2} - 2^{(m-2)/2}] $，且其权重分布如表12所示。
• Conjecture 40 建议，对于三类多项式 $ f $，当 $ m $ 的奇偶性不同时，$ D(f)^* $ 是 $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ 中的差集，具有Singer参数 $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $。
• Conjecture 41 声称，对于Conjecture 40中提到的多项式，码 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ 的参数为 $ [2^{m-1} - 1, m-1, 2^{m-2}] $，且为单权重码。
• 所有猜想均通过Magma对足够大的 $ m $ 进行计算验证，支持其合理性，尽管尚未有普遍性证明。