[论文解读] A construction of $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences

Takeshi Katsura|ArXiv.org|Sep 3, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 72

一句话总结

本文提出了一种从任意 C*-對應關係統一構造 C*-代數的方法——廣義化了 Cuntz-Pimsner 代數、Hilbert C*-雙模的交叉積以及圖代數——通過定義一個保持對應關係完整結構的普遍 C*-表示的 C*-代數，即使左作用非單射或退化亦成立。

ABSTRACT

We introduce a method to define $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences. Our construction generalizes Cuntz-Pimsner algebras, crossed products by Hilbert $C^*$-modules, and graph algebras.

研究动机与目标

• 將現有的 C*-代數構造（如 Cuntz-Pimsner 代數與交叉積）統一至適用於任意 C*-對應關係的單一框架中。
• 解決先前構造中要求左作用單射或非退化之限制，從而排除如含匯點的圖代數等重要例子。
• 將 Abadie、Eilers 與 Exel（針對 Hilbert C*-雙模）以及 Pimsner（針對 C*-對應關係）的構造統一為單一、連貫的方法。
• 確保所產生的 C*-代數即使在左作用非單射時，仍完整保留原始 C*-對應關係的所有資訊。
• 提供一種系統性方法，自然地將拓撲圖代數與部分自同構的交叉積作為特例包含在內。

提出的方法

• 將 C*-對應關係定義為 C*-代數 A 上的右 Hilbert A-模，並配備一個 *-同態 φ_X: A → L(X)（即左作用）。
• 透過 Fock 空間構造與模結構所強制的關係，利用對應關係的普遍表示構造普遍 C*-代數 O_X。
• 將 C*-代數 O_X 定義為 Fock 模 F_X 上的有界可伴隨算子 C*-代數中，由創生與湮滅算子生成的閉 *-子代數。
• 透過使用不需單射性要求的普遍性質，確保該構造適用於任何 C*-對應關係，包括左作用非單射或退化的例子。
• 建立從 C*-對應關係到其 O_X 的映射是單射的，因此即使左作用非單射，原始對應關係亦可從 O_X 重建。
• 利用該構造恢復已知例子：當左作用單射時，O_X 同構於經典的 Cuntz-Pimsner 代數；當對應關係為 Hilbert C*-雙模時，O_X 與 Abadie-Eilers-Exel 的構造一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一種單一的 C*-代數構造，能統一 Cuntz-Pimsner 代數、部分自同構的交叉積與圖代數？
• RQ2 要將 Cuntz-Pimsner 構造擴展至左作用非單射或退化的 C*-對應關係，需滿足何種條件？
• RQ3 當左作用非單射時，C*-對應關係的 C*-代數是否仍能完整編碼原始對應關係？
• RQ4 該新構造與 Hilbert C*-雙模與拓撲圖之現有構造之間有何關係？
• RQ5 是否存在一種普遍構造，能自然地在單一框架中涵蓋單射與非單射兩種情形？

主要发现

• 所提出的構造廣義化了 Cuntz-Pimsner 代數、Abadie-Eilers-Exel 的交叉積以及任意圖（包括含匯點者）的圖代數。
• 當 C*-對應關係的左作用單射時，所產生的 C*-代數 O_X 同構於經典的 Cuntz-Pimsner 代數。
• 當 C*-對應關係來自 Hilbert C*-雙模時，該構造產生的 C*-代數與 Abadie-Eilers-Exel 的工作結果一致。
• 任意有向圖（包括含匯點者）的圖代數可自然地透過此構造獲得。
• Drinen 與 Kumjian 定義的拓撲圖代數包含於此處構造的 C*-代數類別中。
• 從 C*-對應關係到其 O_X 的映射是單射的，因此即使左作用非單射，原始 C*-對應關係亦可從 O_X 重建。