[论文解读] A construction of Courant algebroids on foliated manifolds

Izu Vaisman|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过固定分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $，在直和 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上构造了一个Courant代数胚结构，其中 $ E $ 是在叶状流形 $ (M,\mathcal{F}) $ 上的横截-Courant代数胚。该构造将横截结构扩展为完整的叶状Courant代数胚，通过仔细定义括号和主丛映射，保持了公理体系，关键结果是通过分解诱导的同构，系统地将Courant代数胚推广至叶状设定。

ABSTRACT

For any transversal-Courant algebroid $E$ on a foliated manifold $(M,\mathcal{F})$, and for any choice of a decomposition $TM=T\mathcal{F}\oplus Q$, we construct a Courant algebroid structure on $T\mathcal{F}\oplus T^*\mathcal{F}\oplus E$.

研究动机与目标

• 通过从横截-Courant代数胚构造叶状Courant代数胚，将Courant代数胚的框架扩展至叶状流形。
• 将Courant代数胚的概念推广至叶状流形的叶空间等更广义的空间。
• 通过选择分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $，系统地构造 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上的Courant代数胚。
• 验证所得结构满足所有Courant代数胚公理，包括雅可比恒等式以及与主丛映射和度量的相容性。

提出的方法

• 该构造使用固定的分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $，诱导出 $ T^{*}M = Q^{*} \oplus F^{*} $ 的分裂，其中 $ F = T\mathcal{F} $。
• 通过将 $ T^{big}\mathcal{F} = F \oplus (T^{*}M / \text{ann}\,F) $ 上的标准Courant括号与 $ E $ 上的括号相结合，定义 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上的Courant代数胚结构。
• 主丛映射定义为投影到 $ T\mathcal{F} $，度量则由 $ T^{big}\mathcal{F} $ 上的自然配对和 $ E $ 上的度量诱导。
• 总丛上的括号通过结合 $ T^{big}\mathcal{F} $ 上的Courant括号与 $ E $ 上的括号来定义，交叉项涉及李导数和微分。
• 该构造依赖于通过同构 $ \Phi = \text{id} \oplus {}^{t}\iota $ 将Courant结构从 $ T^{big}\mathcal{F} $ 转移到 $ F \oplus \text{ann}\,Q $，以确保与叶状结构的相容性。
• 公理由逐项验证，特别关注雅可比恒等式（公理3），利用 $ \partial_E f = \frac{1}{2} \sharp_E e(f) $ 和李导数的莱布尼茨法则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将叶状流形上的横截-Courant代数胚扩展为完整的叶状Courant代数胚？
• RQ2 选择分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ 在构造 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上一致的Courant代数胚结构中起到什么作用？
• RQ3 当将横截结构 $ E $ 与叶空间的广义切丛 $ T^{big}\mathcal{F} $ 结合时，标准Courant代数胚公理是否仍能保持？
• RQ4 括号中的李导数和微分项如何相互作用以在扩展结构中保持雅可比恒等式？
• RQ5 所得的Courant代数胚是否依赖于分裂 $ Q $ 的选择，还是与分解无关？

主要发现

• 对于任意横截-Courant代数胚 $ E $ 和分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ 的选择，该构造在 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上产生了一个良定义的Courant代数胚。
• 所得Courant代数胚的主丛映射是投影到 $ T\mathcal{F} $，度量由 $ T^{big}\mathcal{F} $ 上的自然配对和 $ E $ 上的度量诱导。
• 总丛上的括号通过结合 $ T^{big}\mathcal{F} $ 上的Courant括号和 $ E $ 上的括号来定义，交叉项涉及李导数和微分。
• 公理3（雅可比恒等式）通过基于所涉及截面类型的六种情况分解问题来验证，并在每种情况下证明等式成立。
• $ \partial $-映射的像为迷向子空间，且括号在其上限制为零，这简化了混合情况下的雅可比恒等式验证。
• 只要固定分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $，该构造即保持一致且与分裂 $ Q $ 的选择无关。