[论文解读] A construction of Hom-Yetter-Drinfeld category

Haiying Li, Tianshui Ma|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过Radford双积Hom-Hopf代数构造，引入了Hom-Yetter-Drinfeld范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$，证明了Hom-Yetter-Drinfeld模给出Hom-Yang-Baxter方程的解，且 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 构成一个预辫子张量范畴。关键结果表明：$(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ 是Radford双积Hom-Hopf代数当且仅当 $(A,\alpha)$ 是 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 中的Hom-Hopf代数，将Majid的经典结果推广至Hom-Hopf设定。

ABSTRACT

In continuation of our recent work about smash product Hom-Hopf algebras in \cite{MLY}, we introduce Hom-Yetter-Drinfeld category $_H^H{\mathbb{YD}}$ via Radford biproduct Hom-Hopf algebra, and prove that the Hom-Yetter-Drinfeld modules can provide solutions of the Hom-Yang-Baxter equation and $_H^H{\mathbb{YD}}$ is a pre-braided tensor category, where $(H, \b, S)$ is a Hom-Hopf algebra. Furthermore, we obtain that $(A^{ atural}_{\diamond} H,\aø\b)$ is a Radford biproduct Hom-Hopf algebra if and only if $(A,\a)$ is a Hopf algebra in the category $_H^H{\mathbb{YD}}$. At last, some examples and applications are given.

研究动机与目标

• 通过构造Hom-Yetter-Drinfeld范畴，将Yetter-Drinfeld模理论推广至Hom-Hopf代数设定。
• 建立一个范畴框架，使得Hom-Yetter-Drinfeld模能为Hom-Yang-Baxter方程提供解。
• 将Majid的Radford双积构造推广至Hom-Hopf代数情形，刻画何时半直积与半直积构造形成Hom-Hopf代数。
• 阐明Hom-Hopf代数在Hom-Yetter-Drinfeld范畴中的性质与Radford双积Hom-Hopf代数之间的关系。
• 通过所提出的构造与范畴框架，提供Hom-Hopf代数的新例子与应用。

提出的方法

• 将 smash coproduct Hom-余代数 $(A\diamond H,\alpha\otimes\beta)$ 构造为 smash product Hom-代数 $(A\natural H,\alpha\otimes\beta)$ 的对偶结构。
• 将 Radford双积 Hom-双代数 $(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ 定义为 smash product 代数与 smash coproduct 余代数的联合结构。
• 通过一个与先前工作不同的新定义引入 Hom-Yetter-Drinfeld 范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$，整合 Hom-模与 Hom-余模结构，并满足相容性条件。
• 利用源自 Hom-Yang-Baxter 方程的辫子结构，证明范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 是一个预辫子张量范畴。
• 建立等价关系：$(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ 是 Radford 双积 Hom-Hopf 代数当且仅当 $(A,\alpha)$ 是 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 中的 Hom-Hopf 代数。
• 利用拟三角结构 $R$，从 Hom-Yetter-Drinfeld 模导出 Hom-Yang-Baxter 方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Yeter-Drinfeld 模构造推广至 Hom-Hopf 代数设定，以形成 Hom-Yetter-Drinfeld 模的范畴？
• RQ2 在 Hom-设定下，何种条件可确保 Radford 双积构造生成 Hom-Hopf 代数？
• RQ3 Hom-Yetter-Drinfeld 模能否为 Hom-Yang-Baxter 方程提供解？若能，这些解如何构造？
• RQ4 Hom-Yetter-Drinfeld 范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 是否为预辫子张量范畴？其辫子结构在此结构中起何作用？
• RQ5 当 Hom-Hopf 代数在 Hom-Yetter-Drinfeld 范畴中时，其对应的 Radford 双积 Hom-Hopf 代数的范畴特征为何？

主要发现

• 通过 Radford 双积 Hom-Hopf 代数构造了 Hom-Yetter-Drinfeld 范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$，为 Hom-Hopf 代数提供了新的范畴框架。
• Hom-Yetter-Drinfeld 模在 Yau 定义的意义下给出 Hom-Yang-Baxter 方程的解，建立了与可积系统和量子群的联系。
• 范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 是一个预辫子张量范畴，其辫子结构源自 Hom-Yang-Baxter 方程。
• Radford 双积 Hom-Hopf 代数 $(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ 是 Hom-Hopf 代数当且仅当 $(A,\alpha)$ 是范畴 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 中的 Hom-Hopf 代数，推广了 Majid 的经典结果。
• 当 Hom-Hopf 代数 $H$ 同时是左余模 Hom-余代数与 Hom-Yetter-Drinfeld 模时，实现拟三角 Hom-Hopf 代数结构，R-矩阵由余模结构导出。
• Cobraided Hom-Hopf 代数结构等价于 $H$ 上存在通过双线性映射 $\sigma$ 构造的相容 Hom-模代数结构，揭示了 Hom-设定下对偶性的联系。