[论文解读] A construction of linear bounded interpolatory operators on the torus

S. Chandrasekaran, H. N. Mhaskar|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于优化方法的构造，用于在 q-环面上对多元周期函数构造线性、有界插值算子。通过求解一个控制插值函数 Sobolev 范数的约束最小化问题，该方法确保了在散乱数据极限点处的统一有界性和最优收敛速率，克服了等距插值中出现的 Runge 现象，同时保持了稳定性和逼近精度。

ABSTRACT

Let $q\ge 1$ be an integer. Given $M$ samples of a smooth function of $q$ variables, $2π$--periodic in each variable, we consider the problem of constructing a $q$--variate trigonometric polynomial of spherical degree $Ø(M^{1/q})$ which interpolates the given data, remains bounded (independent of $M$) on $[-π,π]^q$, and converges to the function at an optimal rate on the set where the data becomes dense. We prove that the solution of an appropriate optimization problem leads to such an interpolant. Numerical examples are given to demonstrate that this procedure overcomes the Runge phenomenon when interpolation at equidistant nodes on $[-1,1]$ is constructed, and also provides a respectable approximation for bivariate grid data, which does not become dense on the whole domain.

研究动机与目标

• 开发一种构造性、线性的方法，用于使用散乱数据点对 q-环面上的光滑多元周期函数进行插值。
• 确保插值函数在样本数量无关的情况下保持统一有界，并在数据极限点处以最优速率收敛。
• 通过将方法扩展到多元周期函数，克服等距单变量插值中的 Runge 现象。
• 提供一种稳定且接近最优的逼近，满足插值约束，而无需数据在整个定义域上密集分布。
• 利用 Sobolev 空间理论和傅里叶分析，建立收敛速率和算子范数的理论界。

提出的方法

• 将插值问题表述为在给定数据点处满足插值条件的前提下，对 Sobolev 范数 $\|P^{(s)}\|_p$ 进行约束最小化。
• 利用函数的周期性并进行变量替换，将问题映射到 q-环面，从而能够使用三角多项式。
• 应用对偶性和傅里叶系数比较技术，以界定插值函数与目标函数之间的误差。
• 利用 Arzela–Ascoli 定理和子列收敛论证，证明在数据极限点处的一致收敛性。
• 通过在 Sobolev 空间中对算子范数进行有界性分析，建立稳定性，确保 $\|\mathbb{P}_n^*\|_{W^p_s} \leq c\|f\|_{W^p_s}$。
• 利用连续模和差分算子，基于光滑性参数推导出 Hölder 型范数下的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为环面上的多元周期函数构造一个避免 Runge 现象的线性、有界插值算子？
• RQ2 当数据点在某些极限点处聚集时，此类插值函数的最优收敛速率是什么？
• RQ3 如何独立于样本数量控制算子范数，以确保稳定性？
• RQ4 该方法能否在满足插值约束的同时，提供 Sobolev 空间中的近似最优逼近？
• RQ5 何种数据分布条件可确保即使数据在全局上不密集，插值函数在极限点处仍能收敛？

主要发现

• 约束最小化问题的解产生了一个线性、有界的插值函数，满足 $\|\mathbb{P}_n^*\|_{W^p_s} \leq c\|f\|_{W^p_s}$，从而确保了与样本数量无关的稳定性。
• 在数据极限点处，插值函数以最优速率 $O(\delta^{s - q/p})$ 收敛，其中 $\delta$ 为局部密度尺度。
• 该方法通过在多元周期设置中确保有界性和收敛性，克服了单变量等距插值中的 Runge 现象。
• 数值示例表明，即使数据在整个定义域上不密集，该方法也能为二维网格数据提供稳定且精确的逼近。
• 收敛速率是最优的，因为它与给定 Sobolev 空间中可能的最佳逼近误差相匹配。
• 该构造对任意散乱数据集均有效，且无需特定的几何排列或全局密度要求。