[论文解读] A construction of local Lie groupoids using Lie algebroid sprays

Alejandro Cabrera|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种直接的、基于连接的局部李群胚构造方法——称为喷射群胚（spray groupoid）——用于整合任意给定的李代数胚，方法是利用李代数胚的喷射（sprays）。该方法给出了积分无穷小乘法对象的显式公式，并通过相应的局部辛、预辛或接触群胚，实现了对泊松、狄拉克及雅可比几何结构的显式积分。

ABSTRACT

We give a direct, explicit and self-contained construction of a local Lie groupoid integrating a given Lie algebroid which only depends on the choice of a connection. We also give a complete account of local Lie theory based on these explicit constructions. On the resulting local Lie groupoid, called a spray groupoid, we obtain formulas for integrating infinitesimal multiplicative objects. These general results produce concrete integrations of several geometrical structures: (Nijenhuis-)Poisson, Dirac, Jacobi structures by local symplectic (Nijenhuis), presymplectic, contact groupoids, respectively. Joint work with A. Cabrera and I. Marcut.

研究动机与目标

• 提供一个自包含的、显式的局部李群胚构造方法，用于整合给定的李代数胚。
• 通过仅依赖于连接的选择，消除对抽象或间接积分方法的依赖。
• 通过具体的几何构造，为局部李理论奠定基础。
• 推导出在所得群胚上积分无穷小乘法对象的显式公式。
• 将该框架应用于特定几何结构，将其积分至相应的局部群胚，包括泊松、狄拉克与雅可比结构。

提出的方法

• 利用李代数胚喷射作为核心几何工具，构建局部群胚结构。
• 通过所选连接对应的喷射向量场的积分曲线构造局部群胚。
• 在李代数胚上选择一个连接，以定义一个规范的喷射，确保构造过程显式且不依赖于辅助选择。
• 将所得群胚结构应用于积分无穷小乘法张量与几何对象。
• 通过利用喷射的齐次性与曲率性质，推导出显式的积分公式。
• 将该框架应用于已知的几何结构，表明喷射群胚自然诱导出辛、预辛或接触群胚结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过连接的选择，显式地从李代数胚构造出局部李群胚？
• RQ2 李代数胚喷射在实现无穷小乘法对象的直接积分中起到何种作用？
• RQ3 所得的喷射群胚如何积分特定几何结构，如泊松或雅可比结构？
• RQ4 该构造能否实现自包含且独立于抽象或间接积分技术？
• RQ5 在所得局部群胚上，积分乘法张量的显式公式是什么？

主要发现

• 通过李代数胚喷射，成功实现了对任意李代数胚的直接、显式且自包含的局部李群胚构造。
• 该构造仅依赖于连接的选择，因此具有典范性且计算上易于实现。
• 所得群胚（称为喷射群胚）支持对无穷小乘法对象进行显式积分的公式。
• 该框架通过局部辛、预辛与接触群胚，分别实现了对尼坚纽斯-泊松、狄拉克与雅可比结构的显式积分。
• 该方法基于这些显式构造，建立了完整的局部李理论，统一了多种几何积分问题。
• 喷射群胚构造自然推广至乘法结构，为泊松与雅可比几何中几何对象的系统性积分提供了方法论。