[论文解读] A Continuation Method for Large-Scale Modeling and Control: from ODEs to PDE, a Round Trip

Denis Nikitin, Carlos Canudas de Wit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Slime Mold and Myxomycetes Research参考文献 46被引用 25

一句话总结

本文提出了一种连续化方法，将时空分布的常微分方程转换为偏微分方程，从而实现分析和控制，包含非线性扩展以及多种应用，包括希尔伯特第六问题和多智能体控制。

ABSTRACT

In this paper we present a continuation method which transforms spatially distributed ODE systems into continuous PDE. We show that this continuation can be performed both for linear and nonlinear systems, including multidimensional, space- and time-varying systems. When applied to a large-scale network, the continuation provides a PDE describing evolution of continuous state approximation that respects the spatial structure of the original ODE. Our method is illustrated by multiple examples including transport equations, Kuramoto equations and heat diffusion equations. As a main example, we perform the continuation of a Newtonian system of interacting particles and obtain the Euler equations for compressible fluids, thereby providing an original alternative solution to Hilbert's 6th problem. Finally, we leverage our derivation of the Euler equations to control multiagent systems, designing a nonlinear control algorithm for robot formation based on its continuous approximation.

研究动机与目标

• 激发用紧凑的 PDE 表示替代大规模时空分布 ODE，同时保持空间结构的需要。
• 开发一个通用的连续化框架，将离散化反演为从 ODEs 获得 PDEs，适用于线性、非线性以及时空变化的系统。
• 建立将 PDE 近似与原始 ODE 谱联系起来的有效性和收敛性结果。
• 在经典和新颖示例上展示该方法，包括从粒子系统推导出欧拉方程的情形以及机器人编队控制。

提出的方法

• 定义一个连续化过程，用 PDE 表示取代对一维网格上的线性空间不变 ODE 的有限差分离散化。
• 使用泰勒展开和基于矩阵的形式化方法，将 ODE 项映射到高达所选阶数 d 的 PDE 导数（其中 d+1 表示 PDE 的导数阶）。
• 推导有效连续化的条件（定理 1：d+1 ≥ N），确保 PDE 的离散化能够恢复原始 ODE。
• 分析光谱收敛性（定理 2），表明随着 d → ∞，PDE 谱收敛于 ODE 谱，同时给出关于非均匀收敛和稳定性注意事项。
• 通过计算图将框架扩展到非线性系统，引入类似的子图和递归连续化以获得非线性 PDE。
• 将该方法扩展到多维、空间相关及边界影响的系统，并概述如何从粒子动力学导出类似 Euler 的 PDE，并将基于 PDE 的控制应用于多智能体编队。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将线性时空分布的 ODE 忠实地转换为保持原始空间结构的 PDE？
• RQ2 在从 ODE 到 PDE 进行连续化时，特别是在光谱方面，精度和收敛性保证有哪些？
• RQ3 如何将连续化框架扩展到具有边界的非线性、时空变化以及多维系统？
• RQ4 所推导的 PDE 表示能否为大规模多智能体系统提供控制设计，并且连续控制能否离散回原始智能体？
• RQ5 有哪些具体示例（如运输、Kuramoto 相互作用、热扩散，以及来自粒子系统的 Euler 方程）能验证连续化方法？

主要发现

• 通过连续化得到的 PDE 随着连续阶数的增加在光谱意义上收敛到原始 ODE（定理 2）。
• 有效的连续化要求 PDE 导数阶满足 d+1 ≥ N，确保离散化能够恢复原始 ODE（定理 1）。
• 该框架可以从粒子动力学再现经典 PDE，例如从牛顿相互作用粒子模型推导出可压缩流体的 Euler 方程。
• 非线性动力学可以使用计算图表示来处理，从而实现到非线性 PDE 的连续化。
• 该方法通过推导 PDE 表示再离散化为对原始智能体的离散控制，提供控制设计路径（框架如图 Fig. 1 所示）。
• 说明性示例包括传输、Kuramoto 型相互作用和热扩散，以及从牛顿到 Euler 的推导和编队控制应用。