[论文解读] A continuous/discontinuous Galerkin solution of the shallow water equations with dynamic viscosity, high-order wetting and drying, and implicit time integration

Simone Marras, Michal A. Kopera+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 57被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对浅水方程的高阶连续/不连续伽辽金（CG/DG）方法，包含动态粘性、高阶干湿处理及隐式时间积分。该方法采用基于残差的亚格子尺度粘性，无需调参即可抑制尖锐前缘附近的吉布斯振荡，保持粗网格下的精度与稳定性，并通过ESDIRK时间积分实现10倍更大的稳定CFL数。

ABSTRACT

The high-order numerical solution of the non-linear shallow water equations (and of hyperbolic systems in general) is susceptible to unphysical Gibbs oscillations that form in the proximity of strong gradients. The solution to this problem is still an active field of research as no general cure has been found yet. In this paper, we tackle this issue by presenting a dynamically adaptive viscosity based on a residual-based sub-grid scale model that has the following properties: $(i)$ it removes the spurious oscillations in the proximity of strong wave fronts while preserving the overall accuracy and sharpness of the solution. This is possible because of the residual-based definition of the dynamic diffusion coefficient. $(ii)$ For coarse grids, it prevents energy from building up at small wave-numbers. $(iii)$ The model has no tunable parameter. Our interest in the shallow water equations is tied to the simulation of coastal inundation, where a careful handling of the transition between dry and wet surfaces is particularly challenging for high-order Galerkin approximations. In this paper, we extend to a unified continuous/discontinuous Galerkin (CG/DG) framework a very simple, yet effective wetting and drying algorithm originally designed for DG [Xing, Zhang, Shu (2010)]. We show its effectiveness for problems in one and two dimensions on domains of increasing characteristic lengths varying from centimeters to kilometers. Finally, to overcome the time-step restriction incurred by the high-order Galerkin approximation, we advance the equations forward in time via a three stage, second order explicit-first-stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) time integration scheme. Via ESDIRK, we are able to preserve numerical stability for an advective CFL number 10 times larger than its explicit counterpart.

研究动机与目标

• 解决高阶伽辽金方法求解浅水方程时，在强梯度和波前附近出现的非物理解析振荡问题。
• 开发一种鲁棒、无需参数调节的稳定化方法，仅在需要时激活，以保持解的精度与锐利度。
• 通过防止小波数模态的能量积聚，实现在粗网格上稳定、高阶的模拟。
• 将仅适用于DG的干湿算法扩展至统一的CG/DG框架，同时保持高阶精度与正性。
• 通过采用隐式ESDIRK时间积分格式，克服高阶伽辽金方法的时间步长限制，实现10倍更大的稳定CFL数。

提出的方法

• 实现一种基于残差的动态亚格子尺度（Dyn-SGS）粘性模型，仅在残差指示高梯度区域自适应添加扩散，定义如方程所示。
• 将Dyn-SGS模型集成至连续与不连续伽辽金格式中，实现高阶解的稳定化，且无需用户调参。
• 通过在干区域结合薄水层，将原本专为DG设计的坡度限制器适配至CG格式，以保持移动边界处的高阶精度与光滑性。
• 采用三阶段、二阶精度、显式首阶段、单对角隐式龙格-库塔（ESDIRK）格式，实现稳定的时间积分，其稳定CFL数为显式方法的10倍。
• 将该方法应用于一维与二维浅水方程测试算例，包括单峰山丘与海岸洪涝问题，验证其在厘米至公里尺度范围内的性能表现。
• 计算动能谱，评估解的能量行为，并分析人工粘性对数值稳定性与精度的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于残差的动态粘性是否能有效抑制高阶CG/DG解在浅水方程中尖锐波前附近的吉布斯振荡，同时不损害解的整体锐利度？
• RQ2 在CG与DG格式中，Dyn-SGS模型在粗网格上防止小波数模态能量积聚方面表现如何？
• RQ3 仅适用于DG的干湿算法能否成功扩展至统一的CG/DG框架，同时保持高阶精度与正性？
• RQ4 ESDIRK时间积分格式在高阶伽辽金模拟中，能在多大程度上提升稳定性并允许更大的时间步长？
• RQ5 在DG中存在固有耗散的背景下，Dyn-SGS模型是否仍保持有效且自调节特性，特别是在残差检测表明对额外扩散需求较低时？

主要发现

• Dyn-SGS模型成功抑制了CG与DG解在尖锐波前附近的吉布斯振荡，且未损害整体解的锐利度或精度。
• 在粗网格（Δx ≥ 0.4 m）下，Dyn-SGS模型有效防止了最高波数模态的非物理能量积聚，确保了CG与DG格式的数值稳定性。
• 该模型无需参数调节且具备自调节能力：仅在残差指示强梯度区域激活，在光滑区域保持关闭。
• ESDIRK时间积分格式使稳定模拟的CFL数达到其显式方法的10倍，显著提升了计算效率。
• 扩展后的干湿算法在1D与2D问题中均保持了名义上的高阶精度，并在移动干湿边界处维持了解的光滑性。
• 动能谱对比显示，经稳定化的CG与DG解在能量行为上优于其无粘性对应解，尤其在粗分辨率下表现更优。