[论文解读] A continuous mapping theorem for the smallest argmax functional

Emilio Seijo, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Statistical Methods and Inference参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文在目标函数收敛至具有多个最大化者的极限过程的M-估计背景下，建立了最小argmax泛函的连续映射定理。它在d维Skorohod空间上引入了sargmax泛函，并证明了在目标函数及其关联的纯跳跃过程联合收敛的条件下，最小最大化者的弱收敛性，从而弥补了先前对变点模型渐近分析中的遗漏。

ABSTRACT

This paper introduces a version of the argmax continuous mapping theorem that applies to M-estimation problems in which the objective functions converge to a limiting process with multiple maximizers. The concept of the smallest maximizer of a function in the d-dimensional Skorohod space is introduced and its main properties are studied. The resulting continuous mapping theorem is applied to three problems arising in change-point regression analysis. Some of the results proved in connection to the d-dimensional Skorohod space are also of independent interest.

研究动机与目标

• 解决标准argmax连续映射定理在目标函数收敛至具有多个最大化者的进程时的局限性。
• 在具有跳跃的d维Skorohod空间中形式化最小最大化者（sargmax）的概念。
• 建立一个新的连续映射定理，要求目标函数及其关联的纯跳跃过程的联合弱收敛。
• 纠正先前对变点估计器渐近分析中的遗漏，特别是关于纯跳跃过程收敛性的必要性。
• 为具有阈值结构变化的变点回归与生存模型中渐近分布的推导提供严格的理论基础。

提出的方法

• 引入d维Skorohod空间 $\mathcal{D}_K$，即具有有限象限极限和右连续性的函数空间，适用于跳跃过程。
• 将sargmax泛函定义为 $\mathcal{D}_K$ 中函数的最小最大化者，确保在区间最大化者情况下保持唯一性。
• 在 $\mathcal{D}_K \times \mathcal{D}_{B_1}$ 中，基于目标过程及其关联的纯跳跃过程的联合弱收敛，证明了连续映射定理。
• 将该定理应用于三种变点模型：随机设计回归、Cox回归中的时间型变点，以及基于阈值的Cox回归变点。
• 通过纯跳跃过程的收敛性确保argmax极限的有效性，纠正了文献中先前的遗漏。
• 采用Skorohod空间中的弱收敛论证，并依赖于两面复合Poisson过程作为极限目标函数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当极限目标过程具有多个最大化者时，能否为最小argmax建立连续映射定理？
• RQ2 除了目标函数外，还需何种额外收敛条件，才能确保最小最大化者的弱收敛？
• RQ3 为何在非唯一最大化者的问题中，关联的纯跳跃过程收敛至关重要？
• RQ4 当极限过程为两面复合Poisson过程时，如何严格推导变点估计器的渐近分布？
• RQ5 先前在变点回归与生存分析中的证明在多大程度上忽略了对纯跳跃过程收敛性的需求？

主要发现

• 最小argmax泛函在d维Skorohod空间 $\mathcal{D}_K$ 上是良好定义且可测的，使得在非正则模型中可实现一致估计。
• 连续映射定理要求目标过程及其关联的纯跳跃过程的联合弱收敛，而不仅仅是目标函数的收敛。
• 回归中最小二乘变点估计量的渐近分布收敛于两面复合Poisson过程的最小最大化者。
• 在具有时间型变点的Cox回归中，估计量 $n(\hat{\zeta}_n - \zeta_0)$ 弱收敛于极限复合Poisson过程的最小最大化者。
• 对于生存模型中的基于阈值的变点，同样的渐近结果成立，且本文通过证明缺失的纯跳跃过程收敛性，完整补全了Pons (2003) 定理5的证明。
• 本文纠正了Kosorok和Song (2007) 以及Pons (2002, 2003) 中的遗漏，即在渐近论证中忽略了纯跳跃过程收敛的必要性。