[论文解读] A continuous, piecewise affine surface map with no measure of maximal entropy

Jérôme Buzzi|ArXiv.org|Feb 16, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在单位正方形上构造了一个连续的、分段仿射的曲面映射，其拓扑熵为 log 2，证明了不存在任何不变概率测度能实现该熵——从而证明了存在一个连续的、分段仿射的映射，其不存在最大熵测度，这与微分同胚情形下的已知结果相矛盾。该构造利用了不动点附近的不稳定动力学以及符号扩张，表明由于某一坐标的无界增长，熵上确界测度无法存在。

ABSTRACT

It is known that piecewise affine surface homeomorphisms always have measures of maximal entropy. This is easily seen to fail in the discontinuous case. Here we describe a piecewise affine, globally continuous surface map with no measure of maximal entropy.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：连续分段仿射曲面映射是否总是存在最大熵测度。
• 构造一个反例，其中拓扑熵有限但没有任何不变概率测度能实现该熵。
• 将分段仿射动力系统中熵最大化现象的理解，从微分同胚和光滑映射推广至更一般情形。
• 证明即使在全局连续性和仿射结构存在的情况下，熵的变分原理也可能失效。
• 探讨动力复杂性与坐标增长在阻碍最大熵测度存在性中的作用。

提出的方法

• 在 [0,1]^2 中的平行四边形 Q ⊂ [0,1]^2 上定义一个分段仿射映射 T，其在 N 和 S 处有不动点，并将 Q 划分为 26 个三角形，使得 T 在每个三角形上为仿射映射。
• 证明垂直锥场 Cs 在临界区域 ABS 和 CDS 上关于 T 的逆映射是不变的，从而确保动力系统的稳定性。
• 通过跟踪迭代是否落入 ABS（记为 0）或 CDS（记为 1）来定义符号扩张 γ: K₀ → Σ（即 2-移位），并利用 Bowens 结果证明 γ 保持熵。
• 构造一组嵌入在 S 附近的动力系统中的有限扩张 F_M，其子移位 Σ_M 的熵趋近于 log 2。
• 证明任何假设存在的最大熵测度 μ 都要求轨道上 y 坐标无界增长，这与概率测度的存在性矛盾。
• 利用 y_{k+1} ≥ 2^{sign(x_k)} y_k 的事实，表明熵最大化测度必须满足 ∑ sign(x_k) 发散，而这是在有限不变测度下不可能实现的。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续分段仿射曲面映射是否可能在拓扑熵有限的情况下，仍不存在最大熵测度？
• RQ2 哪些动力学特征会阻止此类映射中实现拓扑熵的测度的存在？
• RQ3 仿射结构、连续性与坐标增长之间的相互作用如何影响熵最大化？
• RQ4 此类映射中熵最大化失败的现象，与 C^∞ 映射或分段单调区间映射中的已知结果相比，其差异程度如何？
• RQ5 是否存在结构性障碍——例如某一坐标无界增长——可导致分段仿射系统中最大熵测度不存在？

主要发现

• 在 [0,1]^2 上构造的映射 T 满足 h_top(T) = log 2。
• 尽管该熵为有限值，但没有任何不变概率测度 μ 满足 h(T, μ) = log 2，因此不存在最大熵测度。
• 最大熵测度的缺失源于：任何此类测度都必须为 y 坐标无界增长的轨道分配正质量。
• 符号扩张 γ: K₀ → Σ 表明，K₀ 上不变测度的熵被 log 2 上确界，且等号成立当且仅当在移位空间上为 (1/2,1/2)-Bernoulli 测度。
• 然而，该测度将导致几乎所有轨道上 ∑ sign(x_k) 发散，从而迫使 y_n → ∞，这与概率测度的有限性矛盾。
• 该结果可通过在立方体上取恒等映射的直积，推广至所有维度 d ≥ 2，从而在高维中构造出类似的反例。