[论文解读] A contribution to the Calder\'{o}n problem for Yang-Mills connections

Mihajlo Cekić|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在紧致黎曼流形（带边界）上，从联络拉普拉斯算子的诺伊曼-狄利克雷（DN）映射出发，建立了单位酉杨-米尔斯联络在规范等价意义下的唯一性。在光滑范畴中，对线丛证明了唯一性；在解析范畴中，对高秩丛也证明了唯一性。DN映射被证明是一阶椭圆拟微分算子，其全符号编码了联络与度量在边界处的完整泰勒展开。

ABSTRACT

We consider the problem of identifying a unitary Yang-Mills connection $ abla$ on a Hermitian vector bundle from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map of the connection Laplacian $ abla^* abla$ over compact Riemannian manifolds with boundary. We establish such uniqueness of the connection up to a gauge equivalence in the case of line bundles in the smooth category and for the higher rank case in the analytic category. Furthermore, we prove that on the restriction of the vector bundle to the boundary the DN map is an elliptic pseudodifferential operator of order one, whose full symbol determines the complete Taylor series of an arbitrary connection and a metric (also of an associated potential) at the boundary.

研究动机与目标

• 解决从狄利克雷-诺伊曼映射出发，通过边界测量识别单位酉杨-米尔斯联络的反问题。
• 确定在何种条件下，联络可唯一地在规范等价意义下被恢复。
• 分析DN映射作为拟微分算子的结构及其符号性质。
• 建立DN映射符号中编码了联络与度量在边界处的完整泰勒级数这一结论。
• 在解析正则性假设下，将线丛的唯一性结果推广至高秩向量丛。

提出的方法

• 分析在带有边界的紧致黎曼流形上进行，流形上配备一个全纯向量丛和一个单位酉杨-米尔斯联络。
• DN映射由联络拉普拉斯算子 $ \nabla^*\nabla $ 构造，该算子作用于丛的截面。
• 证明DN映射是边界上的一阶椭圆拟微分算子。
• 分析DN映射的全符号，以提取联络与度量在边界处泰勒展开的信息。
• 在线丛情形下，采用光滑范畴技术证明在规范等价意义下的唯一性。
• 对高秩丛情形，施加解析范畴的假设以获得相同的唯一性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有边界的紧致黎曼流形上，单位酉杨-米尔斯联络能否从联络拉普拉斯算子的狄利克雷-诺伊曼映射中唯一确定？
• RQ2 DN映射的全符号在多大程度上编码了联络与度量在边界处的泰勒级数？
• RQ3 在光滑范畴中，线丛的联络在规范等价意义下的唯一性是否可实现？
• RQ4 该唯一性结果能否推广至高秩丛？若能，需满足何种正则性假设？
• RQ5 DN映射的精确拟微分结构是什么？它与联络和度量的几何不变量有何关系？

主要发现

• 联络拉普拉斯算子的狄利克雷-诺伊曼映射是边界上的一阶椭圆拟微分算子。
• DN映射的全符号决定了联络在边界处的完整泰勒级数。
• 在线丛情形下，杨-米尔斯联络在光滑范畴中可通过DN映射唯一确定（在规范等价意义下）。
• 对高秩丛，唯一性在解析正则性假设下成立（在规范等价意义下）。
• DN映射的全符号还编码了相关度量与势在边界处的泰勒级数。
• DN映射符号中编码的边界数据足以在边界处无限阶重建联络与度量。