[论文解读] A contribution to the Zarankiewicz problem

Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Graph theory and applications参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一类新的扎兰基维奇问题的上界，改进了科瓦里、索斯和图兰以及富雷迪的经典结果。通过在矩阵元素上使用归纳法并结合谱图论，该文建立了 $K_{s,t}$-自由图中最大边数的更紧致上界，从而改进了此类图的谱半径和边数估计。

ABSTRACT

Given positive integers m,n,s,t, let z(m,n,s,t) be the maximum number of ones in a (0,1) matrix of size m-by-n that does not contain an all ones submatrix of size s-by-t. We find a flexible upper bound on z(m,n,s,t) that implies the known bounds of Kovari, Sos and Turan, and of Furedi. As a consequence, we find an upper bound on the spectral radius of a graph of order n without a complete bipartite subgraph K_{s,t}.

研究动机与目标

• 改进扎兰基维奇问题 $z(m,n,s,t)$ 的现有上界，该问题旨在寻找在 $m \times n$ 的 $(0,1)$-矩阵中不包含 $s \times t$ 全1子矩阵时，1的最大个数。
• 通过引入参数化的不等式族，扩展并改进科瓦里、索斯和图兰以及富雷迪的经典结果。
• 利用新矩阵边界推导 $K_{s,t}$-自由图的更紧致谱半径和边数边界。
• 在特定情况下（如友谊图和强正则图）证明边界的紧致性。
• 表明在某些参数范围内，新边界在渐近意义下是最优的，仅相差低阶项。

提出的方法

• 通过在参数 $k \in \{0, \dots, s-2\}$ 上使用归纳法，推导出 $z(m,n,s,t)$ 的新一族上界，推广了科瓦里–索斯–图兰边界。
• 建立不等式 $z(m,n,s,t) \leq (s-k-1)^{1/t} n m^{1-1/t} + (t-1) m^{1+k/t} + k n$，对所有 $k = 0, \dots, s-2$ 成立，该不等式涵盖并优于先前结果。
• 将矩阵边界应用于二分图，并利用谱图论将最大边数与邻接矩阵的谱半径 $\mu$ 关联。
• 使用特征值交错和瑞利商来界定 $\mu$，推导出 $K_{s,t}$-自由图的 $\mu \leq (s-k-1)^{1/t} n^{1-1/t} + (t-1) n^{k/t} + k$。
• 对 $k$ 进行优化，以获得最紧致的谱半径边界，特别地，当 $s \geq t \geq 3$ 时，设定 $k = t-2$。
• 通过构造（如埃拉多什–雷尼极性图和具有恒定公共邻点数的强正则图）证明边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过引入参数化的不等式族来改进经典扎兰基维奇问题的边界？
• RQ2 对于阶为 $n$ 的 $K_{s,t}$-自由图，其谱半径 $\mu$ 的最佳可能上界是什么？
• RQ3 新边界在渐近紧致性方面与富雷迪和科瓦里–索斯–图兰的结果相比如何？
• RQ4 是否存在显式图构造，可使新边界在低阶项范围内达到？
• RQ5 在 $m$ 和 $n$ 不平衡时，推导不等式中的参数 $k$ 是否可用于获得更优边界？

主要发现

• 本文建立了一类新边界：对 $k = 0, \dots, s-2$，有 $z(m,n,s,t) \leq (s-k-1)^{1/t} n m^{1-1/t} + (t-1) m^{1+k/t} + k n$，该边界推广并优于早期结果。
• 当 $s \geq t \geq 3$ 时，令 $k = t-2$，可得 $\mu \leq (s-t+1)^{1/t} n^{1-1/t} + (t-1) n^{1-2/t} + t - 2$，优于富雷迪的边界。
• 当 $t=2$ 时，边界 $\mu \leq \frac{1}{2} + \sqrt{(s-1)(n-1) + \frac{1}{4}}$ 是紧致的，且在友谊图中取等。
• 通过埃拉多什–雷尼极性图和富雷迪的 $K_{s,2}$-自由图等构造，表明该边界在渐近意义下紧致，仅相差低阶项。
• 当 $s \geq 3$，$t \geq 3$，且 $n$ 相对于 $m$ 处于特定范围内时，可选择最优 $k$，使其优于任意其他 $k'$，从而证明参数 $k$ 的有效性。
• 边数边界 $e(G) < \frac{1}{2}(s-t+1)^{1/t} n^{2-1/t} + \frac{1}{2}(t-1)n^{2-2/t} + \frac{1}{2}(t-2)n$ 比富雷迪的结果改进了低阶项。