[论文解读] A Control Dichotomy for Pure Scoring Rules

Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Game Theory and Voting Systems参考文献 11被引用 14

一句话总结

该论文首次为纯记票规则下的偏好增加选民（CCAV）建立了二分法定理，证明CCAV仅在k≤3的k-approval、k≤2的k-veto、仅前两名候选人得分的规则以及一种结合1-approval与1-veto的特定混合规则下可多项式时间求解；其余所有纯记票规则均使CCAV为NP-完全。

ABSTRACT

Scoring systems are an extremely important class of election systems. A length-$m$ (so-called) scoring vector applies only to $m$-candidate elections. To handle general elections, one must use a family of vectors, one per length. The most elegant approach to making sure such families are "family-like" is the recently introduced notion of (polynomial-time uniform) pure scoring rules [Betzler and Dorn 2010], where each scoring vector is obtained from its precursor by adding one new coefficient. We obtain the first dichotomy theorem for pure scoring rules for a control problem. In particular, for constructive control by adding voters (CCAV), we show that CCAV is solvable in polynomial time for $k$-approval with $k \leq 3$, $k$-veto with $k \leq 2$, every pure scoring rule in which only the two top-rated candidates gain nonzero scores, and a particular rule that is a "hybrid" of 1-approval and 1-veto. For all other pure scoring rules, CCAV is NP-complete. We also investigate the descriptive richness of different models for defining pure scoring rules, proving how more rule-generation time gives more rules, proving that rationals give more rules than do the natural numbers, and proving that some restrictions previously thought to be "w.l.o.g." in fact do lose generality.

研究动机与目标

• 对所有纯记票规则下的构造性控制通过增加选民（CCAV）的计算复杂性进行分类。
• 在纯记票规则背景下，确定CCAV的多项式时间可解与NP-完全实例之间的精确边界。
• 研究不同形式化方法在定义纯记票规则时的描述丰富性，并评估先前工作中假设是否无损一般性。
• 解决关于特定混合记票规则下可能胜者问题的一个开放问题。
• 证明系数的实际数值（而不仅仅是其相对顺序）具有影响，表明不同的系数分配可能导致不同的复杂度类。

提出的方法

• 将纯记票规则形式化为评分向量的多项式时间均匀族，其中每个向量通过向先前向量添加一个新系数构建而成。
• 将三维匹配（3DM）问题归约为CCAV实例，以证明非平凡纯记票规则下的NP-完全性。
• 构建特定的选举实例，包含一个首选候选人p、辅助候选人，以及已注册和可获得的选民，以模拟3DM约束。
• 通过相对于p的得分比较，强制仅在3DM中有效的覆盖对应于成功的CCAV策略。
• 通过构造高效算法，证明k-approval（k≤3）、k-veto（k≤2）、仅前两名候选人得分的规则以及1-approval/1-veto混合规则的多项式时间可解性。
• 分析不同系数生成模型的描述能力，表明有理系数产生的规则多于整数系数，且先前工作中某些假设并非无损一般性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些纯记票规则，构造性控制通过增加选民（CCAV）可在多项式时间内求解？
• RQ2 先前关于纯记票规则中系数生成的假设是否无损一般性？
• RQ3 评分系数的实际数值（而不仅仅是其相对顺序）是否影响CCAV的复杂度？
• RQ4 1-approval/1-veto混合规则下的可能胜者问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 系数域的选择（例如整数与有理数）如何影响可表示的纯记票规则集合？

主要发现

• 当k≤3时，CCAV在k-approval规则下可多项式时间求解；当k≤2时，CCAV在k-veto规则下可多项式时间求解。
• 对于所有仅前两名候选人获得非零得分的纯记票规则，CCAV可多项式时间求解。
• 对于一种特定的混合规则，即第一名得1分、最后一名得-1分的规则，CCAV可多项式时间求解。
• 对于其余所有纯记票规则，CCAV为NP-完全，从而建立了完整的二分法。
• CCAV的复杂度取决于系数的实际数值，而不仅仅是其相对顺序——例如，系数为(3,1,…,1,0)的规则导致NP-完全性，而(2,1,…,1,0)则不然。
• 先前认为无损一般性的关于定义纯记票规则的假设实际上限制了可表示规则的集合，特别是在系数生成受约束时。