[论文解读] A convergent numerical method for a multi-frequency inverse source problem in inhomogenous media

Loc H. Nguyen, Qitong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于求解由Helmholtz方程控制的非均匀介质中多频反源问题的收敛数值方法。通过将问题重新表述为耦合椭圆PDE系统的一个边值问题，并应用拟逆法，作者利用一种新颖的Carleman估计证明了最小化器的唯一性、存在性及收敛性，数值测试结果证实了在噪声数据下对复杂源函数的精确重构。

ABSTRACT

A new numerical method to solve an inverse source problem for the Helmholtz equation in inhomogenous media is proposed. This method reduces the original inverse problem to a boundary value problem for a coupled system of elliptic PDEs, in which the unknown source function is not involved. The Dirichlet boundary condition is given on the entire boundary of the domain of interest and the Neumann boundary condition is given on a part of this boundary. To solve this problem, the quasi-reversibility method is applied. Uniqueness and existence of the minimizer are proven. A new Carleman estimate is established. Next, the convergence of those minimizers to the exact solution is proven using that Carleman estimate. Results of numerical tests are presented.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且收敛的数值方法，用于从多频边界测量数据重构非均匀介质中的未知源函数。
• 解决具有变系数和折射率的Helmholtz方程的反源问题，尤其在存在噪声的情况下。
• 利用新型Carleman估计建立数值解的理论收敛性。
• 在各种源构型（包括包含物、环形结构和连续表面）上对方法进行数值验证。
• 在数据含5%噪声的情况下，即使问题欠定，也展示方法的鲁棒性。

提出的方法

• 将反源问题转化为一个耦合椭圆PDE系统的边值问题，从而从PDE中消去未知源函数。
• 在整个区域边界上施加狄利克雷边界条件，而在边界的一部分（特别是上表面Γ₊）上施加诺伊曼条件。
• 采用拟逆法来稳定并求解由此产生的病态边值问题。
• 推导出一种新的Carleman估计，为最小化器收敛到真实解提供理论基础。
• 使用截断傅里叶级数来近似源的频率相关分量，以实现数值计算。
• 通过数值求解最小化问题，并利用已知的频率响应g(k)进行逆缩放，获得重构的源函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由Helmholtz方程控制的非均匀介质中的多频反源问题开发一种收敛的数值方法？
• RQ2 所提出的方法是否能在实际噪声水平下确保计算解收敛到真实源函数？
• RQ3 拟逆法能否有效适配于多频数据反源问题中产生的耦合系统？
• RQ4 新的Carleman估计如何支持该背景下最小化器收敛性的证明？
• RQ5 在含噪声数据下，该方法对复杂源形状（包括非紧支集和连续表面）的性能如何？

主要发现

• 通过新型Carleman估计证明了计算解收敛到真实源函数。
• 在含5%噪声的方形空腔构型下，正负源值的相对误差分别为9.0%和11.0%。
• 在环形源测试中，正负值的相对误差分别为12.0%和3.0%，在5%噪声下。
• 对于连续表面源（Matlab 'peaks'函数），最大值和最小值的相对误差分别为9.1%和16.0%，在5%噪声下。
• 即使在无Γ₊上诺伊曼数据的情况下，方法仍表现良好，表明对过度确定性的鲁棒性。
• 重构的波场v(x,k) = u(x,k)/g(k)在所有测试案例中，实部和虚部均与真实场高度吻合。